Упр.38.34 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
а) $$\frac{7x-11}{a+3}>\frac{(1+3a)x}{4}$$;
б) $$ax^2-2x+4>0$$.
а) Приведём неравенство к общему знаменателю:
$$\frac{7x-11}{a+3}>\frac{(1+3a)x}{4}$$
$$\frac{4(7x-11)-(1+3a)(a+3)x}{4(a+3)}>0$$
$$\frac{28x-44-(a+3+3a^2+9a)x}{a+3}>0$$
$$\frac{x(3a^2+10a-25)-44}{a+3}>0$$
$$\frac{x(3a^2+10a-25)+44}{a+3}<0$$
Рассмотрим особые случаи.
$$3a^2+10a-25=0$$
$$D=10^2+4\cdot 3\cdot 25=400$$
$$a_{1,2}=\frac{-10\pm 20}{6}$$
$$a_1=-5,\qquad a_2=\frac53$$
Если $$a=-5$$, то
$$\frac{44}{-2}<0$$
неравенство верно при любом $$x$$.
Если $$a=\frac53$$, то
$$\frac{44}{\frac83}<0$$
решений нет.
Если $$a\neq -3$$ и $$3a^2+10a-25\neq 0$$, то
$$x(3a^2+10a-25)+44$$
должно иметь знак, противоположный знаку $$a+3$$.
Отсюда получаем:
- если $$a<-5$$ или $$-3<a<\frac53$$, то $$x>-\dfrac{44}{3a^2+10a-25}$$;
- если $$-5<a<-3$$ или $$a>\frac53$$, то $$x<-\dfrac{44}{3a^2+10a-25}$$.
б) Решим неравенство
$$ax^2-2x+4>0$$
Если $$a=0$$, то
$$-2x+4>0,\qquad x<2.$$
Если $$a\neq 0$$, найдём дискриминант:
$$D=(-2)^2-4\cdot a\cdot 4=4(1-4a)$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{1-4a}}{2a}=\frac{1\pm \sqrt{1-4a}}{a}$$
Далее учитываем знак старшего коэффициента.
- Если $$a>\frac14$$, то $$D<0$$, значит $$ax^2-2x+4>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.
- Если $$a<0$$, то парабола направлена вниз, и решение:
$$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{a}<x<\frac{1-\sqrt{1-4a}}{a}.$$ - Если $$0<a\le \frac14$$, то
$$x<\frac{1-\sqrt{1-4a}}{a}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{1-4a}}{a}.$$
Ответ
а) Если $$a=-5$$, то $$x\in\mathbb R$$; если $$a=\frac53$$, то решений нет; если $$a<-5$$ или $$-3<a<\frac53$$, то $$x>-\dfrac{44}{3a^2+10a-25}$$; если $$-5<a<-3$$ или $$a>\frac53$$, то $$x<-\dfrac{44}{3a^2+10a-25}$$.
б) Если $$a=0$$, то $$x<2$$; если $$a>\frac14$$, то $$x\in\mathbb R$$; если $$a<0$$, то $$\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{a}<x<\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}{a}$$; если $$0<a\le \frac14$$, то $$x<\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}{a}$$ или $$x>\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{a}$$.
