Упр.38.34 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (7x — 11) / (a + 3) > (1 + 3a)x / 4;
б) ax^2 — 2x + 4 > 0.
а) Приведём неравенство к общему знаменателю:
$$ \frac{7x-11}{a+3}>\frac{(1+3a)x}{4} $$
$$ \frac{4(7x-11)-(1+3a)(a+3)x}{4(a+3)}>0 $$
$$ \frac{28x-44-(a+3+3a^2+9a)x}{a+3}>0 $$
$$ \frac{x(3a^2+10a-25)-44}{a+3}>0 $$
$$ \frac{x(3a^2+10a-25)+44}{a+3}<0 $$
Рассмотрим особые случаи.
$$ 3a^2+10a-25=0 $$
$$ D=10^2+4\cdot 3\cdot 25=400 $$
$$ a_{1,2}=\frac{-10\pm 20}{6} $$
$$ a_1=-5,\qquad a_2=\frac53 $$
Если $$a=-5$$, то
$$ \frac{44}{-2}<0 $$
неравенство верно при любом $$x$$.
Если $$a=\frac53$$, то
$$ \frac{44}{\frac83}<0 $$
решений нет.
Если $$a\neq -3$$ и $$3a^2+10a-25\neq 0$$, то
$$ x(3a^2+10a-25)+44 $$
должно иметь знак, противоположный знаку $$a+3$$.
Отсюда получаем:
- если $$a<-5$$ или $$-3<a<\frac53$$, то $$x>-\dfrac{44}{3a^2+10a-25}$$;
- если $$-5<a<-3$$ или $$a>\frac53$$, то $$x<-\dfrac{44}{3a^2+10a-25}$$.
б) Решим неравенство
$$ ax^2-2x+4>0 $$
Если $$a=0$$, то
$$ -2x+4>0,\qquad x<2. $$
Если $$a\neq 0$$, найдём дискриминант:
$$ D=(-2)^2-4\cdot a\cdot 4=4(1-4a) $$
$$ x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{1-4a}}{2a}=\frac{1\pm \sqrt{1-4a}}{a} $$
Далее учитываем знак старшего коэффициента.
- Если $$a>\frac14$$, то $$D<0$$, значит $$ax^2-2x+4>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.
- Если $$a<0$$, то парабола направлена вниз, и решение:
$$ \frac{1+\sqrt{1-4a}}{a}<x<\frac{1-\sqrt{1-4a}}{a}. $$ - Если $$0<a\le \frac14$$, то
$$ x<\frac{1-\sqrt{1-4a}}{a}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{1-4a}}{a}. $$
Ответ
а) Если $$a=-5$$, то $$x\in\mathbb R$$; если $$a=\frac53$$, то решений нет; если $$a<-5$$ или $$-3<a<\frac53$$, то $$x>-\dfrac{44}{3a^2+10a-25}$$; если $$-5<a<-3$$ или $$a>\frac53$$, то $$x<-\dfrac{44}{3a^2+10a-25}$$.
б) Если $$a=0$$, то $$x<2$$; если $$a>\frac14$$, то $$x\in\mathbb R$$; если $$a<0$$, то $$\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{a}<x<\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}{a}$$; если $$0<a\le \frac14$$, то $$x<\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}{a}$$ или $$x>\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{a}$$.
