Упр.38.33 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$\sin^4 x+\cos^4 x=a$$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ то

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ откуда

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x.$$

Тогда

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-\frac{1}{2}\sin^2 2x.$$

Поэтому уравнение принимает вид

$$1-\frac{1}{2}\sin^2 2x=a.$$

Преобразуем его:

$$2-\sin^2 2x=2a,$$

$$2-\frac{1-\cos 4x}{2}=2a,$$

$$4-1+\cos 4x=4a,$$

$$\cos 4x=4a-3.$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы

$$-1\le 4a-3\le 1.$$

Отсюда

$$\frac12\le a\le 1.$$

Если $$\frac12\le a\le 1,$$, то

$$4x=\pm \arccos(4a-3)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

значит

$$x=\pm \frac14\arccos(4a-3)+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

При $$a<\frac12$$ или $$a>1$$ решений нет.

Ответ

Если $$\frac12\le a\le 1,$$, то $$x=\pm \frac14\arccos(4a-3)+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$ Если $$a<\frac12$$ или $$a>1,$$, то корней нет.