Упр.38.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Решите уравнение |x — 1| + |x — 3| = a.

Рассмотрим уравнение $$|x-1|+|x-3|=a.$$

Разобьём числовую прямую на три промежутка.

1. Если $$x\ge 3,$$ то

   $$|x-1|+|x-3|=(x-1)+(x-3)=a,$$

   $$2x-4=a,\qquad x=\frac{a+4}{2}.$$

   Чтобы это значение подходило, нужно

   $$\frac{a+4}{2}\ge 3,\qquad a\ge 2.$$

2. Если $$1\le x\le 3,$$ то

   $$|x-1|+|x-3|=(x-1)+(3-x)=a,$$

   $$a=2.$$

3. Если $$x\le 1,$$ то

   $$|x-1|+|x-3|=-(x-1)-(x-3)=a,$$

   $$-2x+4=a,\qquad x=\frac{4-a}{2}.$$

   Чтобы это значение подходило, нужно

   $$\frac{4-a}{2}\le 1,\qquad a\ge 2.$$

Итак, при $$a<2$$ решений нет. При $$a=2$$ уравнение имеет бесконечно много решений: $$1\le x\le 3.$$ При $$a>2$$ получаем два корня:

$$x_1=\frac{4-a}{2},\qquad x_2=\frac{a+4}{2}.$$

Ответ

Если $$a<2,$$ корней нет; если $$a=2,$$ то $$1\le x\le 3$$; если $$a>2,$$ то $$x_1=\frac{4-a}{2},\ x_2=\frac{a+4}{2}.$$