Упр.38.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$vx=x-a$$.

Решим уравнение

$$\sqrt{x}=x-a.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x=(x-a)^2,$$

$$x=x^2-2ax+a^2,$$

$$x^2-(2a+1)x+a^2=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:

$$D=(2a+1)^2-4a^2=4a+1.$$

Тогда

$$x=\frac{2a+1\pm\sqrt{4a+1}}{2}.$$

Чтобы корни были действительными, нужно

$$4a+1\ge 0,\quad a\ge -\frac14.$$

Но при этом надо учитывать исходное уравнение: $$\sqrt{x}\ge 0$$ и $$x-a\ge 0$$.

Рассмотрим случаи.

1) Если $$a<-\frac14,$$ то $$D<0$$, значит действительных корней нет.

2) Если $$a=-\frac14,$$ то

$$x=\frac{2a+1}{2}=\frac{1}{4}.$$

Проверка:

$$\sqrt{\frac14}=\frac12,\qquad \frac14-\left(-\frac14\right)=\frac12.$$

Равенство верно.

3) Если $$a>-\frac14,$$ то формально получаем два корня:

$$x_{1,2}=\frac{2a+1\pm\sqrt{4a+1}}{2}.$$

Оба они удовлетворяют исходному уравнению, если не нарушают условие $$x\ge 0$$. При $$a\ge 0$$ оба корня подходят, а при $$-\frac14<a<0$$ подходит только больший корень.

Ответ

$$\begin{cases} a<-\frac14 — \text{корней нет},\\[4pt] a=-\frac14 — x=\frac14,\\[4pt] -\frac14<a<0 — x=\dfrac{2a+1+\sqrt{4a+1}}{2},\\[8pt] a\ge 0 — x_{1,2}=\dfrac{2a+1\pm\sqrt{4a+1}}{2}. \end{cases}$$