Упр.38.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\frac{x}{a(x+1)}-\frac{2}{x+2}=\frac{3-a^2}{a(x+1)(x+2)}$$.

ОДЗ: $$a \ne 0,$$ $$x \ne -1,$$ $$x \ne -2.$$

Умножим уравнение на $$a(x+1)(x+2)$$:

$$x(x+2)-2a(x+1)=3-a^2.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2+2x-2ax-2a=3-a^2,$$

$$x^2+2(1-a)x+a^2-2a-3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=4(1-a)^2-4(a^2-2a-3)=4\bigl((1-a)^2-(a^2-2a-3)\bigr)=16.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-2(1-a)\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=a-3,\qquad x_2=a+1.$$

Проверим особые случаи, когда найденные корни нарушают ОДЗ:

• $$a-3=-1 \Rightarrow a=2,\quad x=3;$$
• $$a+1=-1 \Rightarrow a=-2,\quad x=-5;$$
• $$a+1=-2 \Rightarrow a=-3,\quad x=-6;$$
• $$a-3=-2 \Rightarrow a=1,\quad x=2.$$

При $$a=0$$ исходное уравнение не имеет смысла.

Ответ

Если $$a \ne -3,-2,0,1,2,$$ то $$x=a-3$$ и $$x=a+1.$$
Если $$a=2,$$ то $$x=3.$$
Если $$a=-2,$$ то $$x=-5.$$
Если $$a=-3,$$ то $$x=-6.$$
Если $$a=1,$$ то $$x=2.$$
Если $$a=0,$$ корней нет.