Упр.38.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) имеет ровно один корень;
б) имеет хотя бы один положительный корень;
в) не имеет корней;
г) имеет более одного корня.

Подробный ответ

Преобразуем уравнение:

$$ax-x-1=a^2-2$$

$$x(a-1)=a^2-1$$

$$x(a-1)=(a-1)(a+1)$$

Рассмотрим случаи.

1) $$a\ne 1$$. Тогда можно разделить на $$a-1$$:

$$x=a+1$$

Это единственный корень.

2) $$a=1$$. Тогда исходное уравнение принимает вид

$$x- x-1=1-2$$

$$-1=-1$$

То есть равенство верно при любом $$x$$, значит корней бесконечно много.

Теперь ответим на каждый пункт.

а) Ровно один корень есть тогда и только тогда, когда $$a\ne 1$$.

б) Положительный корень существует, если $$x=a+1>0$$, то есть $$a>-1$$. При этом случай $$a=1$$ тоже подходит, так как корней бесконечно много, в том числе положительные.

Итак, $$a>-1$$.

в) Корней нет ни при каком значении $$a$$.

г) Более одного корня бывает только при $$a=1$$.