Упр.38.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$(a-1)x^2+2(2a+1)x-4a+3=0.$$

Рассмотрим уравнение

$$(a-1)x^2+2(2a+1)x-4a+3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=\bigl(2(2a+1)\bigr)^2-4(a-1)(-4a+3)$$

$$D=4(2a+1)^2-4(a-1)(-4a+3)$$

$$D=4(4a^2+4a+1)+4(a-1)(4a-3)$$

$$D=4(4a^2+4a+1+4a^2-7a+3)=4(8a^2-3a+4).$$

Так как

$$8a^2-3a+4>0$$

при всех значениях $$a$$, то при $$a\ne 1$$ уравнение имеет два действительных корня:

$$x_{1,2}=\frac{-2(2a+1)\pm\sqrt{4(8a^2-3a+4)}}{2(a-1)} =\frac{-(2a+1)\pm\sqrt{8a^2-3a+4}}{a-1}.$$

Если $$a=1$$, то квадратный член исчезает и получаем линейное уравнение:

$$2(2\cdot 1+1)x-4\cdot 1+3=0$$

$$6x-1=0,\qquad x=\frac16.$$

Ответ

Если $$a=1$$, то $$x=\frac16$$; если $$a\ne 1$$, то

$$x_{1,2}=\frac{-(2a+1)\pm\sqrt{8a^2-3a+4}}{a-1}.$$