Упр.38.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) При каких значениях параметра а уравнение x^3-12x+1=a имеет ровно три корня?

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=3x^4+4x^3-12x^2.$$ Тогда уравнение $$3x^4+4x^3-12x^2=a$$ равносильно уравнению $$f(x)=a.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x^2+x-2)=12x(x+2)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,-2) & (-2,0) & (0,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & — & + & — & + \end{array} $$

Значит, в точке $$x=-2$$ — минимум, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.

Вычислим значения функции в этих точках:

$$ f(-2)=3\cdot 16+4\cdot(-8)-12\cdot 4=48-32-48=-32, $$
$$ f(0)=0, $$
$$ f(1)=3+4-12=-5. $$

Чтобы уравнение имело не менее трёх корней, прямая $$y=a$$ должна пересекать график функции не менее чем в трёх точках. Это происходит при

$$-5\le a\le 0.$$

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=x^3-12x+1.$$ Тогда уравнение $$x^3-12x+1=a$$ равносильно $$g(x)=a.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2,\;2.$$

Знак производной:

$$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-2) & (-2,2) & (2,+\infty) \\ \hline g'(x) & + & — & + \end{array} $$

Следовательно, в точке $$x=-2$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.

Вычислим значения функции:

$$ g(-2)=-8+24+1=17, $$
$$ g(2)=8-24+1=-15. $$

Ровно три корня уравнение имеет тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ проходит строго между значениями экстремумов:

$$-15<a<17.$$

Ответ

а) $$[-5;0]$$

б) $$(-15;17)$$