Упр.38.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) уравнение 11^(2x)-6·11^x+a-3=0 имеет единственный корень;
б) уравнение (4/9)^x-2(a+1)·(2/3)^x+4=0 не имеет корней.

а) Пусть $$t=11^x,$$ тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$t^2-6t+a-3=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень по $$x,$$ квадратное уравнение по $$t$$ должно иметь либо один положительный корень, либо два совпадающих корня.

Найдём дискриминант:

$$D=36-4(a-3)=48-4a=4(12-a).$$

1) Если $$D=0,$$ то $$a=12,$$ и тогда

$$t=\frac{6}{2}=3,$$

то есть получается единственный корень $$x=\log_{11}3.$$

2) Если $$D>0,$$ то

$$t=3\pm \sqrt{12-a}.$$

Чтобы был только один корень по $$x,$$ один из корней должен быть неположительным, а другой — положительным:

$$3-\sqrt{12-a}\le 0,$$

$$3+\sqrt{12-a}>0.$$

Из первого неравенства:

$$\sqrt{12-a}\ge 3 \;\Longrightarrow\; 12-a\ge 9 \;\Longrightarrow\; a\le 3.$$

С учётом условия существования корней $$D\ge 0$$ получаем $$a\le 12.$$

Итак, при $$a\le 3$$ уравнение имеет единственный корень по $$x,$$ а при $$a=12$$ это также выполняется.

б) Пусть $$t=\left(\frac23\right)^x,$$ тогда $$t>0,$$ а

$$\left(\frac49\right)^x-2(a+1)\left(\frac23\right)^x+4=0$$

переходит в

$$t^2-2(a+1)t+4=0.$$

Чтобы исходное уравнение не имело корней, квадратное уравнение по $$t$$ не должно иметь положительных корней.

Его дискриминант:

$$D=4(a+1)^2-16=4(a^2+2a-3)=4(a+3)(a-1).$$

Если $$D<0,$$ то корней нет, значит

$$a^2+2a-3<0 \;\Longrightarrow\; -3<a<1.$$

Если $$D\ge 0,$$ то корни равны

$$t=a+1\pm \sqrt{a^2+2a-3}.$$

Чтобы положительных корней не было, достаточно, чтобы больший корень был неположительным:

$$a+1+\sqrt{a^2+2a-3}\le 0.$$

Это возможно только при $$a\le -1,$$ а с учётом $$a^2+2a-3\ge 0$$ получаем $$a\le -3.$$

Итак, уравнение не имеет корней при

$$a<1.$$

Ответ

а) $$(-\infty;3]\cup\{12\}$$; б) $$(-\infty;1).$$