Упр.38.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ не имеет корней уравнение:
а) $$27\cdot3^x+16=a+a\cdot3^{x+2}$$;
б) $$49^x-2a\cdot7^{x+1}+9=0$$?

а) Преобразуем уравнение:

$$27\cdot 3^x+16=a+a\cdot 3^{x+2}$$

$$27\cdot 3^x+16=a+9a\cdot 3^x$$

$$9\cdot 3^x(3-a)=a-16$$

$$3^x=\frac{a-16}{9(3-a)}$$

Так как $$3^x>0$$ при любых $$x$$, уравнение не имеет корней, если правая часть не положительна:

$$\frac{a-16}{9(3-a)}\le 0$$

Так как $$9>0$$, получаем

$$\frac{a-16}{3-a}\le 0$$

Это равносильно

$$\frac{a-16}{a-3}\ge 0$$

Отсюда

$$a\le 3 \quad \text{или} \quad a\ge 16.$$

б) Сделаем замену:

$$t=7^x,\quad t>0.$$

Тогда

$$49^x-2a\cdot 7^{x+1}+9=0$$

$$7^{2x}-14a\cdot 7^x+9=0$$

$$t^2-14at+9=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней по $$x$$, квадратное уравнение по $$t$$ не должно иметь положительных корней.

Рассмотрим дискриминант:

$$D=(14a)^2-4\cdot 9=4(49a^2-9).$$

Если $$D<0$$, то корней нет:

$$49a^2-9<0$$

$$-\frac{3}{7}<a<\frac{3}{7}.$$

Если $$D\ge 0$$, то корни равны

$$t_{1,2}=7a\pm \sqrt{49a^2-9}.$$

Чтобы положительных корней не было, достаточно и необходимо, чтобы больший корень был неположительным:

$$7a+\sqrt{49a^2-9}\le 0.$$

Это возможно только при $$a\le 0$$. Тогда неравенство выполняется, и корни по $$t$$ отсутствуют или не положительны.

Итак, уравнение не имеет корней при

$$a\le \frac{3}{7}.$$

Ответ

а) $$(-\infty;3]\cup[16;+\infty)$$;

б) $$(-\infty;\frac{3}{7}]$$.