Упр.38.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите все положительные значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$\left(\log_5 a\right)x^2-\left(2\log_5 a-3\right)x+\log_5 a-2{,}5=0$$ имеет единственный корень.
   б) Найдите все положительные значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$\left(\log_8 a\right)x^2+\left(2\log_8 a+1\right)x+\log_8 a-3=0$$ не имеет корней.

а) Обозначим $$t=\log_5 a.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$tx^2-(2t-3)x+t-2{,}5=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, возможны два случая:

• либо это квадратное уравнение с дискриминантом $$D=0$$;
• либо оно становится линейным, то есть $$t=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2t-3)^2-4t(t-2{,}5) =4t^2-12t+9-4t^2+10t =-2t+9.$$

Приравниваем к нулю:

$$-2t+9=0,\qquad t=\frac92.$$

Тогда

$$\log_5 a=\frac92,\qquad a=5^{9/2}.$$

Теперь рассмотрим случай $$t=0$$:

$$\log_5 a=0,\qquad a=1.$$

Значит, в пункте а) получаем

$$a\in\{1,\;5^{9/2}\}.$$

б) Обозначим $$t=\log_8 a.$$ Тогда уравнение имеет вид

$$tx^2+(2t+1)x+t-3=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы либо $$D<0,$$ либо оно стало линейным и не имело решений.

Найдём дискриминант:

$$D=(2t+1)^2-4t(t-3) =4t^2+4t+1-4t^2+12t =16t+1.$$

Тогда

$$16t+1<0,\qquad t<-\frac1{16}.$$

Возвращаясь к $$a$$, получаем

$$\log_8 a<-\frac1{16},\qquad a<8^{-1/16}.$$

Проверим случай $$t=0$$:

$$\log_8 a=0,\qquad a=1,$$

и тогда уравнение превращается в

$$x-3=0,$$

то есть имеет корень, поэтому $$a=1$$ не подходит.

Следовательно, в пункте б)

$$0<a<8^{-1/16}.$$

Ответ

а) $$a\in\{1,\;5^{9/2}\}$$; б) $$0<a<8^{-1/16}$$.