Упр.38.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (x-a)v(2x-3)?0; в) (3x-4)v(x-a)?0;
б) (x-a)lg(2x-3)?0; г) (3x-4)lg(x-a)?0.

1. а) $$\left(x-a\right)\sqrt{2x-3}\ge 0.$$

   Область определения:

   $$2x-3\ge 0,\quad x\ge \frac32.$$

   Так как $$\sqrt{2x-3}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно, когда $$x-a\ge 0,$$ либо когда корень равен нулю.

   Если $$a\le \frac32,$$ то при всех $$x\ge \frac32$$ неравенство выполняется.

   Если $$a>\frac32,$$ то нужно $$x\ge a,$$ а также $$x=\frac32$$.

2. б) $$\left(x-a\right)\lg(2x-3)\ge 0.$$

   Область определения:

   $$2x-3>0,\quad x>\frac32.$$

   Преобразуем логарифм:

   $$\lg(2x-3)\ge 0 \iff 2x-3\ge 1 \iff x\ge 2,$$

   $$\lg(2x-3)\le 0 \iff \frac32<x\le 2.$$

   Тогда произведение неотрицательно, если множители одного знака.

3. в) $$\left(3x-4\right)\sqrt{x-a}\le 0.$$

   Область определения:

   $$x-a\ge 0,\quad x\ge a.$$

   Так как $$\sqrt{x-a}\ge 0,$$ то произведение не положительно, когда $$3x-4\le 0,$$ либо когда корень равен нулю.

   Получаем $$x\le \frac43$$ и одновременно $$x\ge a.$$

4. г) $$\left(3x-4\right)\lg(x-a)\le 0.$$

   Область определения:

   $$x-a>0,\quad x>a.$$

   Преобразуем логарифм:

   $$\lg(x-a)\ge 0 \iff x-a\ge 1 \iff x\ge a+1,$$

   $$\lg(x-a)\le 0 \iff a<x\le a+1.$$

   Далее рассматриваем знак произведения и пересечение с областью определения.

Ответ

а) если $$a\le \frac32,$$ то $$x\ge \frac32;$$ если $$a>\frac32,$$ то $$x=\frac32$$ или $$x\ge a.$$
б) если $$a\le \frac32,$$ то $$x\ge 2;$$ если $$\frac32<a\le 2,$$ то $$\frac32<x\le a$$ или $$x\ge 2;$$ если $$a>2,$$ то $$\frac32<x\le 2$$ или $$x\ge a.$$
в) если $$a\le \frac43,$$ то $$a\le x\le \frac43;$$ если $$a>\frac43,$$ решений нет.
г) если $$a\le \frac13,$$ то $$a+1\le x\le \frac43;$$ если $$\frac13<a<\frac43,$$ то $$\frac43\le x\le a+1;$$ если $$a\ge \frac43,$$ то $$a<x\le a+1.$$