Упр.38.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ имеет решения система уравнений:
   а) $$\begin{cases}2x^2-3x=y-1,\\y=5x+a;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}3x^2-y=3x+2,\\9x+y=a?\end{cases}$$

1. а) Подставим из второго уравнения $$y=5x+a$$ в первое:

   $$2x^2-3x=5x+a-1$$

   $$2x^2-8x+(1-a)=0$$

   Чтобы система имела решения, это квадратное уравнение должно иметь действительные корни. Значит, его дискриминант неотрицателен:

   $$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot(1-a)\ge 0$$

   $$64-8+8a\ge 0$$

   $$8a\ge -56$$

   $$a\ge -7$$

2. б) Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$9x+y=a \Rightarrow y=a-9x$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$3x^2-(a-9x)=3x+2$$

   $$3x^2+6x-(a+2)=0$$

   Для существования решений требуется:

   $$D=6^2-4\cdot 3\cdot (-(a+2))\ge 0$$

   $$36+12a+24\ge 0$$

   $$12a\ge -60$$

   $$a\ge -5$$

Ответ

а) $$a\in[-7;+\infty)$$; б) $$a\in[-5;+\infty)$$.