Упр.38.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (25-a^2)x?5-a; в) (9a^2-16x)?3a+4;
б) (a^2+4a-5)x < a+5; г) (a^2-2a-8)x < a-4.

1. а) $$\left(25-a^2\right)x \ge 5-a.$$

   Разложим коэффициент при $$x$$ на множители:

   $$25-a^2=(5-a)(5+a).$$

   Тогда

   $$\left(5-a\right)\left(5+a\right)x \ge 5-a.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$a=5$$, то получаем $$0\cdot x \ge 0$$, значит $$x \in (-\infty;+\infty).$$

   2) Если $$a\ne 5$$, делим обе части на $$5-a$$, учитывая знак этого выражения:

   $$\left(5+a\right)x \le 1 \quad \text{при } a<5,$$

   $$\left(5+a\right)x \ge 1 \quad \text{при } a>5.$$

   Теперь учитываем знак $$5+a$$:

   если $$a<-5$$, то $$x \ge \dfrac{1}{a+5};$$

   если $$a=-5$$, то решений нет;

   если $$-5<a<5$$, то $$x \le \dfrac{1}{a+5};$$

   если $$a>5$$, то $$x \ge \dfrac{1}{a+5}.$$

2. б) $$\left(a^2+4a-5\right)x<a+5.$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$a^2+4a-5=(a+5)(a-1).$$

   Тогда

   $$\left(a+5\right)\left(a-1\right)x<a+5.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$a=-5$$, то получаем $$0<0$$, решений нет.

   2) Если $$a\ne -5$$, делим на $$a+5$$ с учётом знака:

   $$\left(a-1\right)x<1 \quad \text{при } a>-5,$$

   $$\left(a-1\right)x>1 \quad \text{при } a<-5.$$

   Теперь учитываем знак $$a-1$$:

   если $$a<-5$$ или $$a>1$$, то $$x<\dfrac{1}{a-1};$$

   если $$-5<a<1$$, то $$x>\dfrac{1}{a-1};$$

   если $$a=1$$, то решений нет.

3. в) $$\left(9a^2-16\right)x\le 3a+4.$$

   Разложим:

   $$9a^2-16=(3a-4)(3a+4).$$

   Тогда

   $$\left(3a-4\right)\left(3a+4\right)x\le 3a+4.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$a=-\dfrac{4}{3}$$, то получаем $$0\le 0$$, значит $$x \in (-\infty;+\infty).$$

   2) Если $$a\ne -\dfrac{4}{3}$$, делим на $$3a+4$$ с учётом знака:

   $$\left(3a-4\right)x\le 1 \quad \text{при } a>-\dfrac{4}{3},$$

   $$\left(3a-4\right)x\ge 1 \quad \text{при } a<-\dfrac{4}{3}.$$

   Теперь учитываем знак $$3a-4$$:

   если $$a<-\dfrac{4}{3}$$ или $$a>\dfrac{4}{3}$$, то $$x\le\dfrac{1}{3a-4};$$

   если $$-\dfrac{4}{3}<a<\dfrac{4}{3}$$, то $$x\ge\dfrac{1}{3a-4};$$

   если $$a=\dfrac{4}{3}$$, то решений нет.

4. г) $$\left(a^2-2a-8\right)x<a-4.$$

   Разложим:

   $$a^2-2a-8=(a-4)(a+2).$$

   Тогда

   $$\left(a-4\right)\left(a+2\right)x<a-4.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$a=4$$, то получаем $$0<0$$, решений нет.

   2) Если $$a\ne 4$$, делим на $$a-4$$ с учётом знака:

   $$\left(a+2\right)x<1 \quad \text{при } a>4,$$

   $$\left(a+2\right)x>1 \quad \text{при } a<4.$$

   Теперь учитываем знак $$a+2$$:

   если $$a<-2$$ или $$a>4$$, то $$x<\dfrac{1}{a+2};$$

   если $$-2<a<4$$, то $$x>\dfrac{1}{a+2};$$

   если $$a=-2$$, то решений нет.

Ответ

а) если $$a<-5$$, то $$x\ge\dfrac{1}{a+5}$$; если $$a=-5$$, то решений нет; если $$-5<a<5$$, то $$x\le\dfrac{1}{a+5}$$; если $$a=5$$, то $$x\in(-\infty;+\infty)$$; если $$a>5$$, то $$x\ge\dfrac{1}{a+5}$$.

б) если $$a<-5$$ или $$a>1$$, то $$x<\dfrac{1}{a-1}$$; если $$-5<a<1$$, то $$x>\dfrac{1}{a-1}$$; если $$a=-5$$ или $$a=1$$, то решений нет.

в) если $$a<-\dfrac{4}{3}$$ или $$a>\dfrac{4}{3}$$, то $$x\le\dfrac{1}{3a-4}$$; если $$-\dfrac{4}{3}<a<\dfrac{4}{3}$$, то $$x\ge\dfrac{1}{3a-4}$$; если $$a=\pm\dfrac{4}{3}$$, то $$x\in(-\infty;+\infty)$$ при $$a=-\dfrac{4}{3}$$ и решений нет при $$a=\dfrac{4}{3}$$.

г) если $$a<-2$$ или $$a>4$$, то $$x<\dfrac{1}{a+2}$$; если $$-2<a<4$$, то $$x>\dfrac{1}{a+2}$$; если $$a=-2$$ или $$a=4$$, то решений нет.