Упр.38.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ графики данных функций имеют хотя бы одну общую точку: а) $$y=x^2-6x+7$$ и $$y=2x+a$$; б) $$y=x^2+4x-3$$ и $$y=-3x+a$$?

а) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$x^2-6x+7=2x+a.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-8x+(7-a)=0.$$

Чтобы уравнение имело хотя бы один действительный корень, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=(-8)^2-4(7-a)\ge 0,$$

$$64-28+4a\ge 0,$$

$$4a\ge -36,$$

$$a\ge -9.$$

Значит,

$$a\in[-9;+\infty).$$

б) Аналогично, приравняем функции:

$$x^2+4x-3=-3x+a.$$

Получаем:

$$x^2+7x-(a+3)=0.$$

Для существования хотя бы одного решения нужно, чтобы

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot (-(a+3))\ge 0,$$

$$49+4a+12\ge 0,$$

$$4a\ge -61,$$

$$a\ge -\frac{61}{4}.$$

Следовательно,

$$a\in\left[-\frac{61}{4};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$[-9;+\infty)$$; б) $$\left[-\frac{61}{4};+\infty\right).$$