Упр.38.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) содержит число 0;
б) содержит число 0, но не содержит число 1;
в) не содержит положительных чисел;
г) содержит ровно три натуральных числа.

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$\frac{6x-2}{x+1}<a.$$

Преобразуем его к виду, удобному для исследования по значениям $x$:

$$\frac{6x-2}{x+1}=6-\frac{8}{x+1}.$$

Тогда

$$6-\frac{8}{x+1}<a.$$

а) Множество решений содержит число $0$.
Подставим $x=0$:
$$\frac{6\cdot 0-2}{0+1}<a \;\Rightarrow\; -2<a.$$
Значит,
$$a>-2.$$
б) Множество решений содержит число $0$, но не содержит число $1$.
Для $x=0$ получаем:
$$-2<a.$$
Чтобы $x=1$ не входило в множество решений, неравенство при $x=1$ должно быть неверным:
$$\frac{6\cdot 1-2}{1+1}\ge a \;\Rightarrow\; 2\ge a.$$
Совмещая условия, получаем:
$$-2<a\le 2.$$
в) Множество решений не содержит положительных чисел.
Это значит, что при всех $x>0$ неравенство должно быть неверным. Функция
$$f(x)=\frac{6x-2}{x+1}$$
на промежутке $x>0$ возрастает, поэтому наименьшее значение там достигается при сколь угодно малых положительных $x$ и стремится к $-2$, а при $x=0$ равно $-2$.
Чтобы не было положительных решений, нужно, чтобы
$$a\le -2.$$
г) Множество решений содержит ровно три натуральных числа.
Проверим натуральные числа по возрастанию:
$$x=1:\quad \frac{6\cdot 1-2}{1+1}=2,$$
$$x=2:\quad \frac{6\cdot 2-2}{2+1}=\frac{10}{3},$$
$$x=3:\quad \frac{6\cdot 3-2}{3+1}=4,$$
$$x=4:\quad \frac{6\cdot 4-2}{4+1}=\frac{22}{5}=4{,}4.$$
Чтобы решениями были ровно $1,2,3$, нужно, чтобы
$$4\le a<\frac{22}{5}.$$
Тогда $x=1,2,3$ удовлетворяют неравенству, а $x=4$ уже не удовлетворяет.