Упр.38.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых множество решений неравенства $$\frac{6x-2}{x+1}

Рассмотрим неравенство

$$\frac{6x-2}{x+1}<a.$$

Преобразуем его к виду, удобному для исследования по значениям $$x$$:

$$\frac{6x-2}{x+1}=6-\frac{8}{x+1}.$$

Тогда

$$6-\frac{8}{x+1}<a.$$

1. а) Множество решений содержит число $$0$$.

   Подставим $$x=0$$:

   $$\frac{6\cdot 0-2}{0+1}<a \;\Rightarrow\; -2<a.$$

   Значит,

   $$a>-2.$$

2. б) Множество решений содержит число $$0$$, но не содержит число $$1$$.

   Для $$x=0$$ получаем:

   $$-2<a.$$

   Чтобы $$x=1$$ не входило в множество решений, неравенство при $$x=1$$ должно быть неверным:

   $$\frac{6\cdot 1-2}{1+1}\ge a \;\Rightarrow\; 2\ge a.$$

   Совмещая условия, получаем:

   $$-2<a\le 2.$$

3. в) Множество решений не содержит положительных чисел.

   Это значит, что при всех $$x>0$$ неравенство должно быть неверным. Функция

   $$f(x)=\frac{6x-2}{x+1}$$

   на промежутке $$x>0$$ возрастает, поэтому наименьшее значение там достигается при сколь угодно малых положительных $$x$$ и стремится к $$-2$$, а при $$x=0$$ равно $$-2$$.

   Чтобы не было положительных решений, нужно, чтобы

   $$a\le -2.$$

4. г) Множество решений содержит ровно три натуральных числа.

   Проверим натуральные числа по возрастанию:

   $$x=1:\quad \frac{6\cdot 1-2}{1+1}=2,$$

   $$x=2:\quad \frac{6\cdot 2-2}{2+1}=\frac{10}{3},$$

   $$x=3:\quad \frac{6\cdot 3-2}{3+1}=4,$$

   $$x=4:\quad \frac{6\cdot 4-2}{4+1}=\frac{22}{5}=4{,}4.$$

   Чтобы решениями были ровно $$1,2,3$$, нужно, чтобы

   $$4\le a<\frac{22}{5}.$$

   Тогда $$x=1,2,3$$ удовлетворяют неравенству, а $$x=4$$ уже не удовлетворяет.

Ответ

а) $$(-2;\,+\infty)$$

б) $$(-2;\,2]$$

в) $$(-\infty;\,-2]$$

г) $$[4;\,4{,}4)$$