Упр.38.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ прямая $$y=ax-2$$ является касательной к графику функции:
   а) $$y=\sqrt{2x-5}$$;
   б) $$y=-2\sqrt{2x+3}$$?

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{2x-5}.$$

Если прямая $$y=ax-2$$ является касательной, то в точке касания её угловой коэффициент равен производной функции:

$$y'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-5}}=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}=a.$$

Отсюда

$$\sqrt{2x-5}=\frac{1}{a}, \qquad 2x-5=\frac{1}{a^2}, \qquad x=\frac{5}{2}+\frac{1}{2a^2}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y_0=\sqrt{2x-5}=\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{a}.$$

Подставим точку касания в уравнение касательной:

$$\frac{1}{a}=a\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2a^2}\right)-2.$$

Упростим:

$$\frac{1}{a}=\frac{5a}{2}+\frac{1}{2a}-2,$$
$$\frac{1}{2a}-\frac{5a}{2}=-2,$$
$$1-5a^2=-4a,$$
$$5a^2-4a-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-1)=16+20=36,$$
$$a=\frac{4\pm 6}{10}.$$

Получаем:

$$a_1=1,\qquad a_2=-\frac{1}{5}.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-\sqrt{2x+3}.$$

Тогда

$$y'(x)=-\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}=-\frac{1}{\sqrt{2x+3}}=a.$$

Следовательно,

$$\sqrt{2x+3}=-\frac{1}{a}, \qquad 2x+3=\frac{1}{a^2}, \qquad x=\frac{1}{2a^2}-\frac{3}{2}.$$

Ордината точки касания:

$$y_0=-\sqrt{2x+3}=-\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{a}.$$

Подставим в уравнение касательной:

$$\frac{1}{a}=a\left(\frac{1}{2a^2}-\frac{3}{2}\right)-2.$$

Упростим:

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{2a}-\frac{3a}{2}-2,$$
$$\frac{1}{2a}+\frac{3a}{2}=-2,$$
$$1+3a^2=-4a,$$
$$3a^2+4a+1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4,$$
$$a=\frac{-4\pm 2}{6}.$$

Получаем:

$$a_1=-1,\qquad a_2=-\frac{1}{3}.$$

Ответ

а) $$a=1,\,-\frac{1}{5}$$; б) $$a=-1,\,-\frac{1}{3}$$.