Упр.38.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) При каких значениях параметра а функция y=x^3-27a^2x-1 имеет точку минимума х=6?

а) Для функции $$y=x^3-3a^2x+7$$ найдём производную:

$$y'(x)=3x^2-3a^2=3(x^2-a^2)=3(x-a)(x+a).$$

Точка максимума у кубической функции соответствует смене знака производной с плюса на минус. Для данной функции критические точки: $$x=\pm a.$$

Чтобы точка максимума была при $$x=-4,$$ нужно, чтобы одна из критических точек совпадала с $$-4,$$ то есть

$$a=4 \quad \text{или} \quad a=-4.$$

б) Для функции $$y=x^3-27a^2x-1$$ найдём производную:

$$y'(x)=3x^2-27a^2=3(x^2-9a^2)=3(x-3a)(x+3a).$$

Точка минимума у кубической функции соответствует смене знака производной с минуса на плюс. Критические точки: $$x=\pm 3a.$$

Чтобы точка минимума была при $$x=6,$$ нужно

$$3a=6 \quad \text{или} \quad -3a=6,$$

откуда

$$a=2 \quad \text{или} \quad a=-2.$$

Ответ

а) $$a=-4,\ 4$$

б) $$a=-2,\ 2$$