Упр.38.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) При каких значениях параметра а функция y=ax^3+6ax^2-8x+5 убывает на всей числовой прямой?

а) Функция $$y=ax^3-6ax^2+8x-3$$ возрастает на всей числовой прямой, если её производная неотрицательна при всех $$x$$:

$$y'(x)=3ax^2-12ax+8.$$

Требуется, чтобы квадратный трёхчлен был неотрицателен при всех $$x$$. Для этого:

$$D\le 0,$$

где

$$D=(-12a)^2-4\cdot 3a\cdot 8=144a^2-96a=48a(3a-2).$$

Получаем:

$$48a(3a-2)\le 0.$$

Отсюда

$$0\le a\le \frac23.$$

б) Функция $$y=ax^3+6ax^2-8x+5$$ убывает на всей числовой прямой, если её производная неположительна при всех $$x$$:

$$y'(x)=3ax^2+12ax-8.$$

Требуется:

$$D\le 0,$$

где

$$D=(12a)^2-4\cdot 3a\cdot(-8)=144a^2+96a=48a(3a+2).$$

Тогда

$$48a(3a+2)\le 0.$$

Отсюда

$$-\frac23\le a\le 0.$$

Ответ

а) $$\left[0;\frac23\right]$$; б) $$\left[-\frac23;0\right]$$.