Упр.38.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) При каких значениях параметра а неравенство (2x-4a+1)/(x+a) выполняется для всех значении х из отрезка [-1; 5]?

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x-3a+1}{x+a}\le 0,\qquad x\in[-2;3].$$

Чтобы дробь была неположительной, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки или числитель равняться нулю. Получаем два случая:

1) $$x-3a+1\le 0,\quad x+a>0,$$ то есть

$$x\le 3a-1,\qquad x>-a.$$

Чтобы это выполнялось для всех $$x\in[-2;3],$$ нужно, чтобы весь отрезок $$[-2;3]$$ лежал внутри промежутка $$(-a;\,3a-1].$$ Тогда

$$-a<-2,\qquad 3a-1\ge 3.$$

Отсюда

$$a>2,\qquad a\ge \frac43.$$

Значит, в этом случае $$a>2.$$

2) $$x-3a+1\ge 0,\quad x+a<0,$$ то есть

$$x\ge 3a-1,\qquad x<-a.$$

Чтобы это выполнялось для всех $$x\in[-2;3],$$ нужно

$$3a-1\le -2,\qquad -a>3.$$

Отсюда

$$a\le -\frac13,\qquad a<-3.$$

Значит, в этом случае $$a<-3.$$

Итак, для пункта а получаем

$$a\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{2x-4a+1}{x+a}<0,\qquad x\in[-1;5].$$

Аналогично, дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки:

1) $$2x-4a+1<0,\quad x+a>0,$$ то есть

$$x<2a-\frac12,\qquad x>-a.$$

Чтобы это выполнялось для всех $$x\in[-1;5],$$ нужно

$$-a<-1,\qquad 2a-\frac12>5.$$

Отсюда

$$a>1,\qquad a>\frac{11}{4}.$$

Значит, в этом случае $$a>\frac{11}{4}.$$

2) $$2x-4a+1>0,\quad x+a<0,$$ то есть

$$x>2a-\frac12,\qquad x<-a.$$

Чтобы это выполнялось для всех $$x\in[-1;5],$$ нужно

$$2a-\frac12\le -1,\qquad -a>5.$$

Отсюда

$$a\le -\frac14,\qquad a<-5.$$

Значит, в этом случае $$a<-5.$$

Итак, для пункта б получаем

$$a\in(-\infty;-5)\cup\left(\frac{11}{4};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$

б) $$(-\infty;-5)\cup\left(\frac{11}{4};+\infty\right)$$