Упр.38.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) cos((1/3)x)=a^2-1; в) sin(-2/5)x=1-a^2;
б) sin(x)=a^2+4a+4; г) cos(x)=a^2-5a-5.
$$\cos\left(\frac{x}{3}\right)=a^2-1.$$
Чтобы уравнение имело решения, нужно
$$-1\le a^2-1\le 1.$$
Отсюда
$$0\le a^2\le 2,\qquad -\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$
Если $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2,$$ то
$$\frac{x}{3}=\pm \arccos(a^2-1)+2\pi n,$$
значит
$$x=\pm 3\arccos(a^2-1)+6\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin x=a^2+4a+4.$$
Нужно, чтобы
$$-1\le a^2+4a+4\le 1.$$
Левая часть:
$$a^2+4a+5\ge 0.$$
Так как $$D=4^2-4\cdot 1\cdot 5=-4<0,$$ то неравенство выполняется при всех $$a\in\mathbb R.$$
Правая часть:
$$a^2+4a+3\le 0,$$
$$\left(a+1\right)\left(a+3\right)\le 0,$$
откуда
$$-3\le a\le -1.$$
Если $$-3\le a\le -1,$$ то
$$x=(-1)^n\arcsin(a^2+4a+4)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin\left(-\frac{2}{5}x\right)=1-a^2.$$
Для существования решений нужно
$$-1\le 1-a^2\le 1.$$
Из этого получаем
$$0\le a^2\le 2,\qquad -\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$
Если $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2,$$ то
$$-\frac{2}{5}x=(-1)^n\arcsin(1-a^2)+\pi n,$$
следовательно,
$$x=-\frac{5}{2}\left((-1)^n\arcsin(1-a^2)+\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos x=a^2-5a-5.$$
Нужно, чтобы
$$-1\le a^2-5a-5\le 1.$$
Левая часть:
$$a^2-5a-4\ge 0,$$
$$D=25+16=41,$$
$$a_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{41}}{2}.$$
Тогда
$$a\le \frac{5-\sqrt{41}}{2}\quad \text{или}\quad a\ge \frac{5+\sqrt{41}}{2}.$$
Правая часть:
$$a^2-5a-6\le 0,$$
$$\left(a+1\right)\left(a-6\right)\le 0,$$
откуда
$$-1\le a\le 6.$$
Пересечение условий даёт
$$-1\le a\le \frac{5-\sqrt{41}}{2}\quad \text{или}\quad \frac{5+\sqrt{41}}{2}\le a\le 6.$$
Если $$a$$ удовлетворяет этим условиям, то
$$x=\pm \arccos(a^2-5a-5)+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) Если $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2,$$ то $$x=\pm 3\arccos(a^2-1)+6\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z;$$ иначе корней нет.
б) Если $$-3\le a\le -1,$$ то $$x=(-1)^n\arcsin(a^2+4a+4)+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z;$$ иначе корней нет.
в) Если $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2,$$ то $$x=-\frac{5}{2}\left((-1)^n\arcsin(1-a^2)+\pi n\right),$$ $$n\in\mathbb Z;$$ иначе корней нет.
г) Если $$-1\le a\le \frac{5-\sqrt{41}}{2}$$ или $$\frac{5+\sqrt{41}}{2}\le a\le 6,$$ то $$x=\pm \arccos(a^2-5a-5)+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z;$$ иначе корней нет.
