Упр.38.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) sin(x)=3a+2; в) cos(x)=3-2a;
б) cos(2x)=4a-3; г) sin(2x)=3-a.
а) $$\sin x=3a+2$$
Чтобы уравнение имело решения, нужно
$$-1\le 3a+2\le 1.$$
Тогда
$$-3\le 3a\le -1,$$
$$-1\le a\le -\frac13.$$
Если $$-1\le a\le -\frac13,$$ то
$$x=(-1)^k\arcsin(3a+2)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Если $$a<-1$$ или $$a>-\frac13,$$ то решений нет.
б) $$\cos 2x=4a-3$$
Для существования решений должно быть
$$-1\le 4a-3\le 1.$$
Отсюда
$$2\le 4a\le 4,$$
$$\frac12\le a\le 1.$$
Если $$\frac12\le a\le 1,$$ то
$$2x=\pm \arccos(4a-3)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=\pm \frac12\arccos(4a-3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$a<\frac12$$ или $$a>1,$$ то решений нет.
в) $$\cos x=3-2a$$
Нужно, чтобы
$$-1\le 3-2a\le 1.$$
Тогда
$$-4\le -2a\le -2,$$
$$2\le 2a\le 4,$$
$$1\le a\le 2.$$
Если $$1\le a\le 2,$$ то
$$x=\pm \arccos(3-2a)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$a<1$$ или $$a>2,$$ то решений нет.
г) $$\sin 2x=3-a$$
Для существования решений должно выполняться
$$-1\le 3-a\le 1.$$
Отсюда
$$-4\le -a\le -2,$$
$$2\le a\le 4.$$
Если $$2\le a\le 4,$$ то
$$2x=(-1)^n\arcsin(3-a)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=\frac12\left((-1)^n\arcsin(3-a)+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$a<2$$ или $$a>4,$$ то решений нет.
Ответ
а) $$a\in\left[-1,-\frac13\right]$$, $$x=(-1)^k\arcsin(3a+2)+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; при остальных $$a$$ решений нет.
б) $$a\in\left[\frac12,1\right]$$, $$x=\pm \frac12\arccos(4a-3)+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; при остальных $$a$$ решений нет.
в) $$a\in[1,2]$$, $$x=\pm \arccos(3-2a)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; при остальных $$a$$ решений нет.
г) $$a\in[2,4]$$, $$x=\frac12\left((-1)^n\arcsin(3-a)+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$; при остальных $$a$$ решений нет.
