Упр.38.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (a-2)x^2-4x-3?0;
б) (a-3)x^2-2(a+1)x+a+2>0.

а) Рассмотрим неравенство $$ (a-2)x^2-4x-3\ge 0. $$

Если $$a=2,$$ то получаем линейное неравенство:

$$-4x-3\ge 0,\qquad x\le -\frac34.$$

Если $$a\ne 2,$$ найдём дискриминант:

$$D=(-4)^2-4(a-2)(-3)=16+12a-24=12a-8=4(3a-2).$$

Тогда корни уравнения $$ (a-2)x^2-4x-3=0 $$ равны

$$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{12a-8}}{2(a-2)}=\frac{2\pm \sqrt{3a-2}}{a-2}.$$

Для существования действительных корней нужно

$$3a-2\ge 0,\qquad a\ge \frac23.$$

Далее учитываем знак коэффициента при $$x^2$$:

• если $$\frac23\le a<2,$$ то $$a-2<0,$$ и парабола ветвями вниз, поэтому $$ (a-2)x^2-4x-3\ge 0 $$ выполняется между корнями;
• если $$a>2,$$ то $$a-2>0,$$ и неравенство выполняется вне промежутка между корнями.

При $$a=\frac23$$ имеем двойной корень:

$$x=\frac{2}{\frac23-2}=-\frac32.$$

Значит,

$$ \begin{cases} a<\frac23, & \text{решений нет},\\ a=\frac23, & x=-\frac32,\\ \frac23<a<2, & \dfrac{2-\sqrt{3a-2}}{a-2}\le x\le \dfrac{2+\sqrt{3a-2}}{a-2},\\ a>2, & x\le \dfrac{2-\sqrt{3a-2}}{a-2}\ \text{или}\ x\ge \dfrac{2+\sqrt{3a-2}}{a-2}. \end{cases} $$

б) Рассмотрим неравенство $$ (a-3)x^2-2(a+1)x+a+2>0. $$

Если $$a=3,$$ то получаем линейное неравенство:

$$-8x+5>0,\qquad x<\frac58.$$

Если $$a\ne 3,$$ найдём дискриминант:

$$D=[-2(a+1)]^2-4(a-3)(a+2)=4(a+1)^2-4(a-3)(a+2).$$

$$D=4\bigl(a^2+2a+1-a^2-a-6\bigr)=4(3a+7).$$

Тогда корни уравнения $$ (a-3)x^2-2(a+1)x+a+2=0 $$ равны

$$x_{1,2}=\frac{2(a+1)\pm \sqrt{4(3a+7)}}{2(a-3)}=\frac{a+1\pm \sqrt{3a+7}}{a-3}.$$

Для существования действительных корней нужно

$$3a+7\ge 0,\qquad a\ge -\frac73.$$

Учитываем знак коэффициента при $$x^2$$:

• если $$-\frac73\le a<3,$$ то $$a-3<0,$$ и неравенство $$>0$$ выполняется вне промежутка между корнями;
• если $$a>3,$$ то $$a-3>0,$$ и неравенство $$>0$$ выполняется между корнями.

При $$a=-\frac73$$ имеем двойной корень, а при $$a<-\frac73$$ действительных корней нет, и при $$a<3$$ неравенство не выполняется.

Следовательно,

$$ \begin{cases} a<-\frac73, & \text{решений нет},\\ a=-\frac73, & x=\dfrac{a+1}{a-3}=\dfrac{5}{16},\\ -\frac73<a<3, & x<\dfrac{a+1-\sqrt{3a+7}}{a-3}\ \text{или}\ x>\dfrac{a+1+\sqrt{3a+7}}{a-3},\\ a>3, & \dfrac{a+1-\sqrt{3a+7}}{a-3}<x<\dfrac{a+1+\sqrt{3a+7}}{a-3}. \end{cases} $$

Ответ

а) $$\begin{cases} a<\frac23, & \text{решений нет},\\ a=\frac23, & x=-\frac32,\\ \frac23<a<2, & \dfrac{2-\sqrt{3a-2}}{a-2}\le x\le \dfrac{2+\sqrt{3a-2}}{a-2},\\ a>2, & x\le \dfrac{2-\sqrt{3a-2}}{a-2}\ \text{или}\ x\ge \dfrac{2+\sqrt{3a-2}}{a-2}. \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} a<-\frac73, & \text{решений нет},\\ a=-\frac73, & x=\frac{5}{16},\\ -\frac73<a<3, & x<\dfrac{a+1-\sqrt{3a+7}}{a-3}\ \text{или}\ x>\dfrac{a+1+\sqrt{3a+7}}{a-3},\\ a>3, & \dfrac{a+1-\sqrt{3a+7}}{a-3}<x<\dfrac{a+1+\sqrt{3a+7}}{a-3}. \end{cases}$$