Упр.37.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (log_3(x+2))^2-8log_3(x+2)+15>0;
б) (log_5(x+1))^2-2log_5(x+1)-8<0.

а) Обозначим $$y=\log_3(x+2).$$ Тогда получаем неравенство

$$y^2-8y+15>0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-8y+15=(y-3)(y-5).$$

Тогда

$$ (y-3)(y-5)>0, $$

откуда

$$y<3 \quad \text{или} \quad y>5.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3(x+2)<3 \;\Rightarrow\; x+2<27 \;\Rightarrow\; x<25,$$

с учётом ОДЗ $$x+2>0$$ получаем $$-2<x<25.$$

Или

$$\log_3(x+2)>5 \;\Rightarrow\; x+2>243 \;\Rightarrow\; x>241.$$

Итак,

$$x\in(-2;25)\cup(241;+\infty).$$

б) Обозначим $$y=\log_5(x+1).$$ Тогда

$$y^2-2y-8<0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-2y-8=(y+2)(y-4).$$

Получаем

$$ (y+2)(y-4)<0, $$

откуда

$$-2<y<4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-2<\log_5(x+1)<4.$$

Так как основание $$5>1$$, знак неравенства сохраняется:

$$5^{-2}<x+1<5^4.$$

То есть

$$\frac{1}{25}<x+1<625,$$

$$-\frac{24}{25}<x<624.$$

Ответ

а) $$(-2;25)\cup(241;+\infty)$$; б) $$\left(-\frac{24}{25};624\right).$$