Упр.37.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите неравенство методом введения новой переменной:
а) $$9^{x+2}+4\cdot3^{2x+2}<4\frac{1}{3}$$;
б) $$4^{\sqrt{x}}-9\cdot2^{\sqrt{x}}+8>0$$;
в) $$(\sqrt{5}-2)^x+(\sqrt{5}+2)^x\mathord{?}\sqrt{20}$$;
г) $$8^{x-2}+3\cdot2^{3x-2}>24{,}5$$;
д) $$9^{\sqrt{x}}-10\cdot3^{\sqrt{x}}+9<0$$;
е) $$(2-\sqrt{3})^x+(\sqrt{3}+2)^x\mathord{?}4$$.
а) $$9^{x+2}+4\cdot 3^{2x+2}<4\frac13$$
$$3^{2x}\cdot 81+4\cdot 3^{2x}\cdot 9<\frac{13}{3}$$
$$117\cdot 3^{2x}<\frac{13}{3}$$
$$3^{2x}<\frac{1}{27}=3^{-3}$$
$$2x<-3,\quad x<-1{,}5.$$
Ответ: $$(-\infty;\,-1{,}5).$$
б) $$4^{\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8>0$$
$$2^{2\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8>0.$$
Пусть $$t=2^{\sqrt{x}}$$, тогда
$$t^2-9t+8>0$$
$$(t-1)(t-8)>0.$$
Отсюда $$t<1$$ или $$t>8.$$
Так как $$t=2^{\sqrt{x}}\ge 1,$$ то подходит только $$2^{\sqrt{x}}>8=2^3.$$
$$\sqrt{x}>3,\quad x>9.$$
Ответ: $$(9;\,+\infty).$$
в) $$(\sqrt5-2)^x+(\sqrt5+2)^x\le \sqrt{20}$$
Так как $$\sqrt5+2=\dfrac{1}{\sqrt5-2},$$ положим
$$y=(\sqrt5-2)^x.$$
Тогда
$$y+\frac{1}{y}\le \sqrt{20}.$$
$$y^2-\sqrt{20}\,y+1\le 0.$$
$$D=20-4=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{\sqrt{20}\pm 4}{2}=\sqrt5\pm 2.$$
Следовательно,
$$\sqrt5-2\le y\le \sqrt5+2.$$
Возвращаясь к $$y=(\sqrt5-2)^x,$$ получаем:
$$x\le 1,\quad x\ge -1.$$
Ответ: $$[-1;\,1].$$
г) $$8^{x-2}+3\cdot 2^{3x-2}>24{,}5$$
$$2^{3x}\cdot \frac{1}{64}+3\cdot 2^{3x}\cdot \frac{1}{4}>\frac{49}{2}.$$
$$\left(\frac{1}{64}+\frac{3}{4}\right)2^{3x}>\frac{49}{2}$$
$$\frac{49}{64}\cdot 2^{3x}>\frac{49}{2}.$$
$$2^{3x}>32=2^5,$$
$$3x>5,\quad x>\frac53.$$
Ответ: $$\left(\frac53;\,+\infty\right).$$
д) $$9^{\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0$$
$$3^{2\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0.$$
Пусть $$t=3^{\sqrt{x}}.$$ Тогда
$$t^2-10t+9<0$$
$$(t-1)(t-9)<0.$$
Отсюда
$$1<t<9.$$
Так как $$t=3^{\sqrt{x}},$$ получаем
$$0<\sqrt{x}<2,$$
$$0<x<4.$$
Ответ: $$(0;\,4).$$
е) $$(2-\sqrt3)^x+(\sqrt3+2)^x\ge 4$$
Так как $$\sqrt3+2=\dfrac{1}{2-\sqrt3},$$ положим
$$y=(2-\sqrt3)^x.$$
Тогда
$$y+\frac{1}{y}\ge 4.$$
$$y^2-4y+1\ge 0.$$
$$D=16-4=12,$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm \sqrt3.$$
Следовательно,
$$y\le 2-\sqrt3 \quad \text{или} \quad y\ge 2+\sqrt3.$$
Возвращаясь к $$y=(2-\sqrt3)^x,$$ получаем:
$$x\ge 1 \quad \text{или} \quad x\le -1.$$
Ответ: $$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty).$$
