Упр.37.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 9^(x+2)+4·3^(2x+2)<4 1/3; г) 8^(x-2)+3·2^(3x-2)>24,5;
б) 4^vx-9·2^vx+8>0; д) 9^vx-10·3^vx+9<0; в) (v5-2)^x+(v5+2)^x?v20; е) (2-v3)^x+(v3+2)^x?4.

1. а) $$9^{x+2}+4\cdot 3^{2x+2}<4\frac13$$

   $$3^{2x}\cdot 81+4\cdot 3^{2x}\cdot 9<\frac{13}{3}$$

   $$117\cdot 3^{2x}<\frac{13}{3}$$

   $$3^{2x}<\frac{1}{27}=3^{-3}$$

   $$2x<-3,\quad x<-1{,}5.$$

   Ответ: $$(-\infty;\,-1{,}5).$$

2. б) $$4^{\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8>0$$

   $$2^{2\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8>0.$$

   Пусть $$t=2^{\sqrt{x}}$$, тогда

   $$t^2-9t+8>0$$

   $$ (t-1)(t-8)>0.$$

   Отсюда $$t<1$$ или $$t>8.$$

   Так как $$t=2^{\sqrt{x}}\ge 1,$$ то подходит только $$2^{\sqrt{x}}>8=2^3.$$

   $$\sqrt{x}>3,\quad x>9.$$

   Ответ: $$(9;\,+\infty).$$

3. в) $$(\sqrt5-2)^x+(\sqrt5+2)^x\le \sqrt{20}$$

   Так как $$\sqrt5+2=\dfrac{1}{\sqrt5-2},$$ положим

   $$y=(\sqrt5-2)^x.$$

   Тогда

   $$y+\frac{1}{y}\le \sqrt{20}.$$

   $$y^2-\sqrt{20}\,y+1\le 0.$$

   $$D=20-4=16,$$

   $$y_{1,2}=\frac{\sqrt{20}\pm 4}{2}=\sqrt5\pm 2.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt5-2\le y\le \sqrt5+2.$$

   Возвращаясь к $$y=(\sqrt5-2)^x,$$ получаем:

   $$x\le 1,\quad x\ge -1.$$

   Ответ: $$[-1;\,1].$$

4. г) $$8^{x-2}+3\cdot 2^{3x-2}>24{,}5$$

   $$2^{3x}\cdot \frac{1}{64}+3\cdot 2^{3x}\cdot \frac{1}{4}>\frac{49}{2}.$$

   $$\left(\frac{1}{64}+\frac{3}{4}\right)2^{3x}>\frac{49}{2}$$

   $$\frac{49}{64}\cdot 2^{3x}>\frac{49}{2}.$$

   $$2^{3x}>32=2^5,$$

   $$3x>5,\quad x>\frac53.$$

   Ответ: $$\left(\frac53;\,+\infty\right).$$

5. д) $$9^{\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0$$

   $$3^{2\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0.$$

   Пусть $$t=3^{\sqrt{x}}.$$ Тогда

   $$t^2-10t+9<0$$

   $$ (t-1)(t-9)<0.$$

   Отсюда

   $$1<t<9.$$

   Так как $$t=3^{\sqrt{x}},$$ получаем

   $$0<\sqrt{x}<2,$$

   $$0<x<4.$$

   Ответ: $$(0;\,4).$$

6. е) $$(2-\sqrt3)^x+(\sqrt3+2)^x\ge 4$$

   Так как $$\sqrt3+2=\dfrac{1}{2-\sqrt3},$$ положим

   $$y=(2-\sqrt3)^x.$$

   Тогда

   $$y+\frac{1}{y}\ge 4.$$

   $$y^2-4y+1\ge 0.$$

   $$D=16-4=12,$$

   $$y_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm \sqrt3.$$

   Следовательно,

   $$y\le 2-\sqrt3 \quad \text{или} \quad y\ge 2+\sqrt3.$$

   Возвращаясь к $$y=(2-\sqrt3)^x,$$ получаем:

   $$x\ge 1 \quad \text{или} \quad x\le -1.$$

   Ответ: $$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty).$$