Упр.37.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 4^(2x)-6·4^x+8?0;
б) 3^(1+x)·2^(1-x)+3^x·2^(-x)?10,5;
в) 2·5^(2x)-11·5^x+5?0;
г) 2^x·5^(1-x)+2^(x+1)·5^(-x)?2,8.

Подробный ответ

а) Введём новую переменную $$t=4^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8\le 0 \;\Longrightarrow\; t^2-6t+8\le 0.$$
Разложим на множители:
$$t^2-6t+8=(t-2)(t-4).$$
Тогда
$$ (t-2)(t-4)\le 0 \;\Longrightarrow\; 2\le t\le 4.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$2\le 4^x\le 4 \;\Longrightarrow\; \frac12\le x\le 1.$$
б) Преобразуем выражение:
$$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\ge 10{,}5.$$
Вынесем общий множитель:
$$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}=3\cdot 3^x\cdot 2\cdot 2^{-x}+3^x\cdot 2^{-x}.$$
$$=6\left(\frac32\right)^x+\left(\frac32\right)^x=7\left(\frac32\right)^x.$$
Тогда
$$7\left(\frac32\right)^x\ge 10{,}5,$$
$$\left(\frac32\right)^x\ge 1{,}5=\frac32.$$
Так как основание $$\frac32>1$$, получаем
$$x\ge 1.$$
в) Введём новую переменную $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$2\cdot 5^{2x}-11\cdot 5^x+5\ge 0 \;\Longrightarrow\; 2t^2-11t+5\ge 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 5=121-40=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{11\pm 9}{4}, \quad t_1=\frac12,\; t_2=5.$$
Тогда
$$2t^2-11t+5=(2t-1)(t-5),$$
и
$$ (2t-1)(t-5)\ge 0 \;\Longrightarrow\; t\le \frac12 \;\text{или}\; t\ge 5.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$5^x\le \frac12 \;\Longrightarrow\; x\le \log_5 \frac12=-\log_5 2,$$
$$5^x\ge 5 \;\Longrightarrow\; x\ge 1.$$
г) Преобразуем левую часть:
$$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\le 2{,}8.$$
$$2^x\cdot 5^{1-x}=5\left(\frac25\right)^x,\qquad 2^{x+1}\cdot 5^{-x}=2\left(\frac25\right)^x.$$
Тогда
$$7\left(\frac25\right)^x\le 2{,}8,$$
$$\left(\frac25\right)^x\le 0{,}4=\frac25.$$
Так как основание $$\frac25<1$$, знак неравенства при переходе к показателю меняется:
$$x\ge 1.$$