Упр.37.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Решите неравенство методом введения новой переменной:
а) $$x^{1/3}-x^{1/6}-2\mathord{?}0$$; б) $$x^2-7|x|+6>0$$; в) $$|x^2-3|x|+2|<0$$; г) $$x^{1/5}-6x^{1/10}+8>0$$; д) $$x^2+2|x|-8<0$$; е) $$|x^2-8|x|+12|\mathord{?}0$$.
а) Введём новую переменную $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем неравенство
$$t^2-t-2\le 0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t+1\right)\left(t-2\right)\le 0.$$
Отсюда $$-1\le t\le 2$$, но так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, то $$0\le t\le 2$$.
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$0\le x\le 64.$$
б) Пусть $$t=|x|$$. Тогда
$$t^2-7t+6>0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t-1\right)\left(t-6\right)>0.$$
Следовательно, $$t<1$$ или $$t>6$$.
Так как $$t=|x|$$, имеем:
$$|x|<1 \quad \text{или} \quad |x|>6.$$
Отсюда
$$-1<x<1 \quad \text{или} \quad x<-6 \quad \text{или} \quad x>6.$$
в) Рассмотрим выражение под модулем:
$$x^2-3|x|+2.$$
Положим $$t=|x|$$. Тогда
$$t^2-3t+2=0.$$
Но неравенство
$$\left|x^2-3|x|+2\right|<0$$
невозможно, так как модуль не может быть отрицательным.
г) Пусть $$t=\sqrt[10]{x}$$, тогда $$\sqrt[5]{x}=t^2$$. Получаем
$$t^2-6t+8>0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t-2\right)\left(t-4\right)>0.$$
Следовательно, $$t<2$$ или $$t>4$$.
Так как $$t=\sqrt[10]{x}\ge 0$$, то
$$0\le t<2 \quad \text{или} \quad t>4.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$0\le x<1024 \quad \text{или} \quad x>1048576.$$
д) Пусть $$t=|x|$$. Тогда
$$t^2+2t-8<0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t+4\right)\left(t-2\right)<0.$$
Отсюда $$-4<t<2$$. С учётом $$t=|x|\ge 0$$ получаем
$$0\le |x|<2,$$
то есть
$$-2<x<2.$$
е) Пусть $$t=|x|$$. Тогда
$$\left|t^2-8t+12\right|\ge 0.$$
Модуль любого числа неотрицателен при всех значениях переменной, значит неравенство верно при любом $$x$$.
Ответ
а) $$[0;64]$$; б) $$(-\infty;-6)\cup(-1;1)\cup(6;+\infty)$$; в) решений нет; г) $$[0;1024)\cup(1048576;+\infty)$$; д) $$(-2;2)$$; е) $$(-\infty;+\infty)$$.
