Упр.37.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (3x-11)^(1/5)>(x+1)^(1/5); г) (6x+5)^(1/7)<(3x+26)^(1/7); б) (x^2-6x)^7<(x-6)^7; д) (2x^2-5x)^11?(x^2+6)^11; в) (2·0,1^x+3)^6?(0,1^x+103)^6; е) (2^(x+1)-15)^8?(2^x+17)^8.

1. а) Так как функция $$y=\sqrt[5]{x}$$ возрастает на всей области определения, то неравенство равносильно:

   $$3x-11>x+1$$

   $$2x>12$$

   $$x>6$$

   Ответ: $$\left(6;+\infty\right).$$

2. б) Так как функция $$y=x^7$$ возрастает на всей числовой прямой, то:

   $$x^2-6x<x-6$$

   $$x^2-7x+6<0$$

   $$\left(x-1\right)\left(x-6\right)<0$$

   Отсюда:

   $$1<x<6$$

   Ответ: $$\left(1;6\right).$$

3. в) Функция $$y=x^6$$ возрастает на промежутке $$[0;+\infty)$$, а выражения в скобках положительны, поэтому:

   $$2\cdot 0{,}1^x+3\le 0{,}1^x+103$$

   $$0{,}1^x\le 100$$

   $$10^{-x}\le 10^2$$

   $$-x\le 2$$

   $$x\ge -2$$

   Ответ: $$\left[-2;+\infty\right).$$

4. г) Так как функция $$y=\sqrt[7]{x}$$ возрастает на всей области определения, то:

   $$6x+5<3x+26$$

   $$3x<21$$

   $$x<7$$

   Ответ: $$\left(-\infty;7\right).$$

5. д) Так как функция $$y=x^{11}$$ возрастает на всей числовой прямой, то:

   $$2x^2-5x\ge x^2+6$$

   $$x^2-5x-6\ge 0$$

   $$\left(x+1\right)\left(x-6\right)\ge 0$$

   Отсюда:

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 6$$

   Ответ: $$\left(-\infty;-1\right]\cup\left[6;+\infty\right).$$

6. е) Так как функция $$y=x^8$$ возрастает на промежутке $$[0;+\infty)$$, а выражения в скобках положительны, то:

   $$2^{x+1}-15\ge 2^x+17$$

   $$2\cdot 2^x-15\ge 2^x+17$$

   $$2^x\ge 32$$

   $$x\ge 5$$

   Ответ: $$\left[5;+\infty\right).$$