Упр.37.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) ln(x^2+15)>ln(2x^2+6);
б) log_(1/3)(2x+1)?log_(1/3)(x-5);
в) log_12(3x^2+1)?log_12(5-4x);
г) lg(12x^2+11)>lg(8x^2+15);
д) log_21(6x-11)?log_21(3x+2);
е) log_(1/?)(2x^2+1)>log_(1/?)(x+4).
а) $$\ln(x^2+15)>\ln(2x^2+6)$$
Так как функция $$\ln x$$ возрастает, получаем:
$$x^2+15>2x^2+6$$
$$x^2-9<0$$
$$ (x-3)(x+3)<0 $$
Отсюда:
$$-3<x<3$$
б) $$\log_{\frac13}(2x+1)\le \log_{\frac13}(x-5)$$
Так как основание $$\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
$$2x+1\ge x-5$$
$$x\ge -6$$
Область определения:
$$2x+1>0,\quad x-5>0$$
$$x>-\frac12,\quad x>5$$
Следовательно, $$x>5$$.
в) $$\log_{12}(3x^2+1)\ge \log_{12}(5-4x)$$
Так как основание $$12>1$$, знак неравенства сохраняется:
$$3x^2+1\ge 5-4x$$
$$3x^2+4x-4\ge 0$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{6}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac23$$
Тогда:
$$ (x+2)\left(x-\frac23\right)\ge 0 $$
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac23$$
Область определения:
$$5-4x>0,\quad x<\frac54$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad \frac23\le x<\frac54$$
г) $$\lg(12x^2+11)>\lg(8x^2+15)$$
Так как функция $$\lg x$$ возрастает, получаем:
$$12x^2+11>8x^2+15$$
$$4x^2-4>0$$
$$x^2-1>0$$
$$ (x-1)(x+1)>0 $$
Отсюда:
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1$$
д) $$\log_{21}(6x-11)\le \log_{21}(3x+2)$$
Так как основание $$21>1$$, знак неравенства сохраняется:
$$6x-11\le 3x+2$$
$$3x\le 13$$
$$x\le \frac{13}{3}$$
Область определения:
$$6x-11>0,\quad 3x+2>0$$
$$x>\frac{11}{6},\quad x>-\frac23$$
Следовательно, $$x>\frac{11}{6}$$.
Итак,
$$\frac{11}{6}<x\le \frac{13}{3}$$
е) $$\log_{\frac1\pi}(2x^2+1)>\log_{\frac1\pi}(x+4)$$
Так как основание $$\frac1\pi<1$$, знак неравенства меняется:
$$2x^2+1<x+4$$
$$2x^2-x-3<0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac32$$
Тогда:
$$ (x+1)\left(x-\frac32\right)<0 $$
$$-1<x<\frac32$$
Область определения:
$$x+4>0,\quad x>-4$$
Это условие уже выполнено на найденном промежутке.
Ответ
а) $$(-3;3)$$; б) $$(5;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-2]\cup\left[\frac23;\frac54\right)$$; г) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$; д) $$\left(\frac{11}{6};\frac{13}{3}\right]$$; е) $$\left(-1;\frac32\right)$$.
