Упр.37.33 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (x-3)log_3(x+3)?0; г) (3-x)log_5(x+4)?0;
б) (3^x-5)(4x+7)?0; д) (6^x-3)(5x+8)?0;
в) (x-5)v(log_2(x-2))?0; е) (x-12)v(log_7(x-5))?0.

а) $$ (x-3)\log_3(x+3)\ge 0 $$

Так как $$\log_3(x+3)=0$$ при $$x=-2$$, а основание $$3>1$$, то

$$ \log_3(x+3)\ge 0 \iff x+3\ge 1 \iff x\ge -2. $$

Область определения: $$x+3>0 \iff x>-3.$$

Рассматриваем знаки множителей:

$$ (x-3)(x+2)\ge 0,\quad x>-3. $$

Отсюда

$$ x\in(-3;-2]\cup[3;+\infty). $$

б) $$ (3^x-5)(4x+7)\le 0 $$

Так как $$3^x$$ возрастает, то

$$ 3^x-5=0 \iff x=\log_3 5. $$

Тогда

$$ 3^x-5\le 0 \iff x\le \log_3 5. $$

А

$$ 4x+7=0 \iff x=-\frac74. $$

Произведение неположительно, когда множители разных знаков или один из них равен нулю. Получаем

$$ x\in\left[-\frac74;\log_3 5\right]. $$

в) $$ (x-5)\sqrt{\log_2(x-2)}\ge 0 $$

Найдём область определения:

$$ \log_2(x-2)\ge 0,\quad x-2>0. $$

Так как основание $$2>1$$, то

$$ \log_2(x-2)\ge 0 \iff x-2\ge 1 \iff x\ge 3. $$

На области определения $$\sqrt{\log_2(x-2)}\ge 0$$, значит неравенство выполняется при

$$ x-5\ge 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{\log_2(x-2)}=0. $$

То есть

$$ x\ge 5 \quad \text{или} \quad \log_2(x-2)=0 \iff x=3. $$

Ответ:

$$ x\in\{3\}\cup[5;+\infty). $$

г) $$ (3-x)\log_5(x+4)\le 0 $$

Так как $$\log_5(x+4)=0$$ при $$x=-3$$, а основание $$5>1$$, то

$$ \log_5(x+4)\ge 0 \iff x\ge -3. $$

Область определения: $$x+4>0 \iff x>-4.$$

Тогда

$$ (3-x)\log_5(x+4)\le 0 $$
выполняется при

$$ x\in(-4;-3]\cup[3;+\infty). $$

д) $$ (6^x-3)(5x+8)\ge 0 $$

Так как $$6^x$$ возрастает, то

$$ 6^x-3=0 \iff x=\log_6 3. $$

Следовательно,

$$ 6^x-3\le 0 \iff x\le \log_6 3. $$

А

$$ 5x+8=0 \iff x=-\frac85. $$

Произведение неотрицательно, когда множители одного знака. Получаем

$$ x\in\left(-\infty;-\frac85\right]\cup[\log_6 3;+\infty). $$

е) $$ (x-12)\sqrt{\log_7(x-5)}\ge 0 $$

Область определения:

$$ \log_7(x-5)\ge 0,\quad x-5>0. $$

Так как основание $$7>1$$, то

$$ \log_7(x-5)\ge 0 \iff x-5\ge 1 \iff x\ge 6. $$

На области определения $$\sqrt{\log_7(x-5)}\ge 0$$, поэтому неравенство выполняется при

$$ x-12\ge 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{\log_7(x-5)}=0. $$

То есть

$$ x\ge 12 \quad \text{или} \quad \log_7(x-5)=0 \iff x=6. $$

Ответ:

$$ x\in\{6\}\cup[12;+\infty). $$

Ответ

$$ \text{а) }(-3;-2]\cup[3;+\infty),\quad \text{б) }\left[-\frac74;\log_3 5\right],\quad \text{в) }\{3\}\cup[5;+\infty), $$
$$ \text{г) }(-4;-3]\cup[3;+\infty),\quad \text{д) }\left(-\infty;-\frac85\right]\cup[\log_6 3;+\infty),\quad \text{е) }\{6\}\cup[12;+\infty). $$