Упр.37.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 25^log_0,1(x)-5^log_0,1(x+1)+0,1^log_0,1(4)?0;
б) 49^ln(x)-7^(ln(x)+1)-e^ln(8)?0.

а) Обозначим $$y=5^{\log_{0,1}x}.$$ Тогда

$$25^{\log_{0,1}x}-5\cdot 5^{\log_{0,1}x}+0,1^{\log_{0,1}4}\le 0$$
$$y^2-5y+4\le 0$$
$$ (y-1)(y-4)\le 0,$$
откуда
$$1\le y\le 4.$$

Теперь найдём, чему это соответствует:

$$5^{\log_{0,1}x}\ge 1 \;\Rightarrow\; \log_{0,1}x\ge 0 \;\Rightarrow\; 0<x\le 1,$$
$$5^{\log_{0,1}x}\le 4 \;\Rightarrow\; \log_{0,1}x\le \log_5 4 \;\Rightarrow\; x\ge 0,1^{\log_5 4}.$$

С учётом пересечения получаем:

$$x\in \left[0,1^{\log_5 4};\,1\right].$$

б) Обозначим $$y=7^{\ln x}.$$ Тогда

$$49^{\ln x}-7^{\ln x+1}-e^{\ln 8}\ge 0$$
$$7^{2\ln x}-7\cdot 7^{\ln x}-8\ge 0$$
$$y^2-7y-8\ge 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$y^2-7y-8=(y+1)(y-8)\ge 0,$$
откуда
$$y\le -1 \quad \text{или} \quad y\ge 8.$$

Так как $$y=7^{\ln x}>0,$$ то условие $$y\le -1$$ невозможно. Остаётся

$$7^{\ln x}\ge 8$$
$$\ln x\ge \log_7 8$$
$$x\ge e^{\log_7 8}.$$

Преобразуем:

$$e^{\log_7 8}=e^{\frac{\ln 8}{\ln 7}}=8^{\frac{1}{\ln 7}}.$$

Следовательно,

$$x\in \left[e^{\log_7 8};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$\left[0,1^{\log_5 4};\,1\right]$$;
б) $$\left[e^{\log_7 8};+\infty\right).$$