Упр.37.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

• а) $$2\sin^2(x)+\sin(x)-3?0$$;
• б) $$6\cos^2(x)-13\cos(x)+7?0$$.

а) $$2\sin^2 x+\sin x-3\ge 0.$$

Положим $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное неравенство:

$$2y^2+y-3\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=1+24=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4},$$
$$y_1=-\frac32,\quad y_2=1.$$

Тогда

$$\left(y+\frac32\right)(y-1)\ge 0,$$

откуда

$$y\le -\frac32 \quad \text{или} \quad y\ge 1.$$

Но $$\sin x\in[-1;1],$$ поэтому неравенство $$\sin x\le -\frac32$$ решений не имеет, а из условия $$\sin x\ge 1$$ получаем

$$\sin x=1.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$6\cos^2 x-13\cos x+7\le 0.$$

Положим $$y=\cos x.$$ Тогда

$$6y^2-13y+7\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=169-168=1,$$
$$y_{1,2}=\frac{13\pm 1}{12},$$
$$y_1=1,\quad y_2=\frac76.$$

Тогда

$$\left(y-1\right)\left(y-\frac76\right)\le 0,$$

откуда

$$1\le y\le \frac76.$$

С учётом того, что $$\cos x\le 1,$$ получаем только

$$\cos x=1.$$

Значит,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$