Упр.37.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (log_0,5(x)-19)^11>(8log_0,5(x)+9)^11;
б) (3-5log_0,125(x))^15?(log_0,125(x)+7)^15.

а) Так как функция $$f(t)=t^{11}$$ возрастает на всей числовой прямой, то можно сравнить основания степеней:

$$ \log_{0,5}x-19>8\log_{0,5}x+9 $$
$$ -7\log_{0,5}x>28 $$
$$ \log_{0,5}x<-4 $$

Так как основание логарифма $$0,5<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$ x>\left(\frac12\right)^{-4}=16 $$

б) Аналогично, функция $$f(t)=t^{15}$$ возрастает, поэтому:

$$ 3-5\log_{0,125}x\le \log_{0,125}x+7 $$
$$ -6\log_{0,125}x\le 4 $$
$$ \log_{0,125}x\ge -\frac23 $$

Поскольку $$0,125=\frac18<1$$, при переходе к показательной форме знак меняется:

$$ x\le \left(\frac18\right)^{-2/3}=4 $$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

$$ 0<x\le 4 $$

Ответ

а) $$\left(16;+\infty\right)$$;
б) $$\left(0;4\right]$$.