Упр.37.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) неравенства |f(x)|?g(x) и системы неравенств {f(x)?g(x), f(x)?-g(x)};
б) неравенств |f(x)?|g(x)| и (f(x)-g(x))·(f(x)+g(x))?0;
в) неравенства (f(x))^1/(2n)?(g(x))^1/(2n) и системы неравенств {f(x)?0, f(x)?g(x)};
г) неравенства |f(x)|?g(x) и совокупности неравенств [f(x)?g(x), f(x)?-g(x)];
д) неравенства v(f(x))>g(x) и совокупности систем неравенств {f(x)?0, g(x)<0} и {f(x)>g^2(x), g(x)?0};
е) неравенства v(f(x))0}.

1. а) Докажем равносильность неравенства $$|f(x)|\le g(x)$$ и системы

   $$ \begin{cases} f(x)\le g(x),\\ f(x)\ge -g(x). \end{cases} $$

   По определению модуля

   $$|f(x)|\le g(x)\iff -g(x)\le f(x)\le g(x).$$

   Это и есть система

   $$ \begin{cases} f(x)\le g(x),\\ f(x)\ge -g(x). \end{cases} $$

2. б) Докажем равносильность неравенства $$|f(x)|\le |g(x)|$$ и неравенства

   $$\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\le 0.$$

   Так как обе части неотрицательны, то

   $$|f(x)|\le |g(x)|\iff f^2(x)\le g^2(x).$$

   Переносим всё в одну сторону и раскладываем на множители:

   $$ f^2(x)-g^2(x)\le 0 \iff \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\le 0. $$

3. в) Докажем равносильность неравенства $$\sqrt[2n]{f(x)}\le \sqrt[2n]{g(x)}$$ и системы

   $$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ f(x)\le g(x). \end{cases} $$

   Так как функция $$y=\sqrt[2n]{x}$$ определена только при $$x\ge 0$$ и возрастает на своей области определения, то

   $$ \sqrt[2n]{f(x)}\le \sqrt[2n]{g(x)} \iff \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0,\\ f(x)\le g(x). \end{cases} $$

   Из условий $$f(x)\ge 0$$ и $$f(x)\le g(x)$$ следует $$g(x)\ge 0$$, поэтому достаточно записать

   $$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ f(x)\le g(x). \end{cases} $$

4. г) Докажем равносильность неравенства $$|f(x)|\ge g(x)$$ и совокупности

   $$ \begin{cases} f(x)\le -g(x), \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x)\ge g(x). \end{cases} $$

   По определению модуля

   $$|f(x)|\ge g(x)\iff f(x)\le -g(x)\ \text{или}\ f(x)\ge g(x).$$

5. д) Докажем равносильность неравенства $$\sqrt{f(x)}>g(x)$$ и совокупности систем

   $$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x)<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x)>g^2(x),\\ g(x)\ge 0. \end{cases} $$

   Рассмотрим два случая.

   Если $$g(x)<0$$, то неравенство $$\sqrt{f(x)}>g(x)$$ выполняется при любом $$f(x)\ge 0$$, так как левая часть неотрицательна.

   Если $$g(x)\ge 0$$, то можно возвести обе части в квадрат:

   $$ \sqrt{f(x)}>g(x) \iff \begin{cases} f(x)>g^2(x),\\ g(x)\ge 0. \end{cases} $$

   Значит, в общем случае получаем указанную совокупность систем.

6. е) Докажем равносильность неравенства $$\sqrt{f(x)}

   $$ \begin{cases} f(x)0. \end{cases} $$

   Если $$g(x)\le 0$$, то неравенство $$\sqrt{f(x)}

   Если $$g(x)>0$$, то можно возвести обе части в квадрат:

   $$ \sqrt{f(x)}0. \end{cases} $$

Ответ

а) $$|f(x)|\le g(x)\iff \begin{cases}f(x)\le g(x),\\ f(x)\ge -g(x).\end{cases}$$

б) $$|f(x)|\le |g(x)|\iff \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\le 0.$$

в) $$\sqrt[2n]{f(x)}\le \sqrt[2n]{g(x)}\iff \begin{cases}f(x)\ge 0,\\ f(x)\le g(x).\end{cases}$$

г) $$|f(x)|\ge g(x)\iff f(x)\le -g(x)\ \text{или}\ f(x)\ge g(x).$$

д) $$\sqrt{f(x)}>g(x)\iff \begin{cases}f(x)\ge 0,\\ g(x)<0\end{cases}\ \text{или}\ \begin{cases}f(x)>g^2(x),\\ g(x)\ge 0.\end{cases}$$

е) $$\sqrt{f(x)}0.\end{cases}$$