Упр.37.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$x|x-6|?5$$; б) $$x|x-5|?4$$.

а) Рассмотрим случаи.

1) Если $$x \ge 6,$$ то $$|x-6|=x-6,$$ и неравенство принимает вид

$$x(x-6)\le 5.$$

$$x^2-6x-5\le 0.$$

Найдём корни квадратного уравнения $$x^2-6x-5=0$$:

$$D=36+20=56,$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{56}}{2}=3\pm\sqrt{14}.$$

Тогда

$$3-\sqrt{14}\le x\le 3+\sqrt{14}.$$

С учётом условия $$x\ge 6$$ получаем

$$6\le x\le 3+\sqrt{14}.$$

2) Если $$x<6,$$ то $$|x-6|=6-x,$$ и неравенство имеет вид

$$x(6-x)\le 5.$$

$$x^2-6x+5\ge 0.$$

$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$

С учётом условия $$x<6$$ получаем

$$x\le 1 \quad \text{или} \quad 5\le x<6.$$

Объединяя оба случая, имеем

$$(-\infty;1]\cup[5;3+\sqrt{14}].$$

б) Рассмотрим случаи.

1) Если $$x \ge 5,$$ то $$|x-5|=x-5,$$ и неравенство принимает вид

$$x(x-5)\ge 4.$$

$$x^2-5x-4\ge 0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2-5x-4=0$$:

$$D=25+16=41,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$x\le \frac{5-\sqrt{41}}{2} \quad \text{или} \quad x\ge \frac{5+\sqrt{41}}{2}.$$

С учётом условия $$x\ge 5$$ остаётся

$$x\ge \frac{5+\sqrt{41}}{2}.$$

2) Если $$x<5,$$ то $$|x-5|=5-x,$$ и неравенство имеет вид

$$x(5-x)\ge 4.$$

$$x^2-5x+4\le 0.$$

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\le 0.$$

Отсюда

$$1\le x\le 4.$$

Это условие полностью подходит к случаю $$x<5.$$

Объединяя результаты, получаем

$$[1;4]\cup\left[\frac{5+\sqrt{41}}{2};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$(-\infty;1]\cup[5;3+\sqrt{14}]$$; б) $$[1;4]\cup\left[\frac{5+\sqrt{41}}{2};+\infty\right).$$