Упр.37.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) v(x^2+5x-11)?x+4; г) v(x^2-7x+12)>x-5;
б) v(37+5x-x^2)>x-10; д) v(9+5x-x^2)
а) $$\sqrt{x^2+5x-11}\le x+4$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$x+4\ge 0.$$ Возводим в квадрат:
$$ x^2+5x-11\le (x+4)^2=x^2+8x+16 $$
$$ 3x\ge -27,\quad x\ge -9 $$С учётом условия $$x+4\ge 0$$ получаем $$x\ge -4.$$
Область определения:
$$ x^2+5x-11\ge 0 $$
$$ D=5^2+4\cdot 11=69 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{69}}{2} $$
$$ x\le \frac{-5-\sqrt{69}}{2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{-5+\sqrt{69}}{2} $$Пересечение с $$x\ge -4$$ даёт:
$$ x\in \left[\frac{\sqrt{69}-5}{2};+\infty\right) $$
б) $$\sqrt{37+5x-x^2}>x-10$$
Если $$x-10<0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения. Если $$x-10\ge 0,$$ возводим в квадрат:
$$ 37+5x-x^2>(x-10)^2 $$
$$ 2x^2-25x+63<0 $$
$$ (2x-7)(x-9)<0 $$
$$ \frac72<x<9 $$Область определения:
$$ 37+5x-x^2\ge 0 $$
$$ x^2-5x-37\le 0 $$
$$ D=5^2+4\cdot 37=173 $$
$$ x\in \left[\frac{5-\sqrt{173}}{2};\frac{5+\sqrt{173}}{2}\right] $$С учётом условия $$x<10$$ и найденного промежутка получаем:
$$ x\in \left[\frac{5-\sqrt{173}}{2};\frac{5+\sqrt{173}}{2}\right] $$
в) $$\sqrt{2x^3+x^2-20}\le x$$
Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$x\ge 0.$$ Возводим в квадрат:
$$ 2x^3+x^2-20\le x^2 $$
$$ 2x^3-20\le 0 $$
$$ x^3\le 10 $$
$$ x\le \sqrt[3]{10} $$Область определения:
$$ 2x^3+x^2-20\ge 0 $$
$$ 2x^3+x^2-20=(x-2)(2x^2+5x+10)\ge 0 $$
$$ x\ge 2 $$Пересечение условий:
$$ x\in [2;\sqrt[3]{10}] $$
г) $$\sqrt{x^2-7x+12}>x-5$$
Если $$x-5<0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения. Если $$x-5\ge 0,$$ возводим в квадрат:
$$ x^2-7x+12>(x-5)^2 $$
$$ 3x>13 $$
$$ x>\frac{13}{3} $$Область определения:
$$ x^2-7x+12\ge 0 $$
$$ (x-3)(x-4)\ge 0 $$
$$ x\le 3 \quad \text{или}\quad x\ge 4 $$С учётом условия $$x<5$$ получаем:
$$ x\in (-\infty;3]\cup [4;+\infty) $$
д) $$\sqrt{9+5x-x^2}<x-8$$
Правая часть должна быть положительной, значит $$x>8.$$ Возводим в квадрат:
$$ 9+5x-x^2<(x-8)^2 $$
$$ 2x^2-21x+55>0 $$
$$ (2x-11)(x-5)>0 $$
$$ x<5 \quad \text{или}\quad x>\frac{11}{2} $$Но одновременно нужно $$x>8,$$ значит решений нет.
е) $$\sqrt{2x^3+x+3}\le x\sqrt6$$
Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$x\ge 0.$$ Возводим в квадрат:
$$ 2x^3+x+3\le 6x^2 $$
$$ 2x^3-6x^2+x+3\le 0 $$
$$ (x-1)(2x^2-4x-3)\le 0 $$Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ 2x^2-4x-3=0 $$
$$ D=16+24=40 $$
$$ x=\frac{4\pm \sqrt{40}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{10}}{2} $$С учётом условия $$x\ge 0$$ и знаков множителей получаем:
$$ x\in \left[1;1+\frac{\sqrt{10}}{2}\right] $$
Ответ
а) $$\left[\frac{\sqrt{69}-5}{2};+\infty\right)$$;
б) $$\left[\frac{5-\sqrt{173}}{2};\frac{5+\sqrt{173}}{2}\right]$$;
в) $$[2;\sqrt[3]{10}]$$;
г) $$(-\infty;3]\cup [4;+\infty)$$;
д) решений нет;
е) $$\left[1;1+\frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$.
