Упр.37.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$\sqrt{x^2+5x-11}\ ?\ x+4$$; г) $$\sqrt{x^2-7x+12}>x-5$$; б) $$\sqrt{37+5x-x^2}>x-10$$; д) $$\sqrt{9+5x-x^2}

1. а) $$\sqrt{x^2+5x-11}\le x+4$$

   Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$x+4\ge 0.$$ Возводим в квадрат:

   $$x^2+5x-11\le (x+4)^2=x^2+8x+16$$
   $$3x\ge -27,\quad x\ge -9$$

   С учётом условия $$x+4\ge 0$$ получаем $$x\ge -4.$$

   Область определения:

   $$x^2+5x-11\ge 0$$
   $$D=5^2+4\cdot 11=69$$
   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{69}}{2}$$
   $$x\le \frac{-5-\sqrt{69}}{2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{-5+\sqrt{69}}{2}$$

   Пересечение с $$x\ge -4$$ даёт:

   $$x\in \left[\frac{\sqrt{69}-5}{2};+\infty\right)$$

2. б) $$\sqrt{37+5x-x^2}>x-10$$

   Если $$x-10<0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения. Если $$x-10\ge 0,$$ возводим в квадрат:

   $$37+5x-x^2>(x-10)^2$$
   $$2x^2-25x+63<0$$
   $$(2x-7)(x-9)<0$$
   $$\frac72<x<9$$

   Область определения:

   $$37+5x-x^2\ge 0$$
   $$x^2-5x-37\le 0$$
   $$D=5^2+4\cdot 37=173$$
   $$x\in \left[\frac{5-\sqrt{173}}{2};\frac{5+\sqrt{173}}{2}\right]$$

   С учётом условия $$x<10$$ и найденного промежутка получаем:

   $$x\in \left[\frac{5-\sqrt{173}}{2};\frac{5+\sqrt{173}}{2}\right]$$

3. в) $$\sqrt{2x^3+x^2-20}\le x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$x\ge 0.$$ Возводим в квадрат:

   $$2x^3+x^2-20\le x^2$$
   $$2x^3-20\le 0$$
   $$x^3\le 10$$
   $$x\le \sqrt[3]{10}$$

   Область определения:

   $$2x^3+x^2-20\ge 0$$
   $$2x^3+x^2-20=(x-2)(2x^2+5x+10)\ge 0$$
   $$x\ge 2$$

   Пересечение условий:

   $$x\in [2;\sqrt[3]{10}]$$

4. г) $$\sqrt{x^2-7x+12}>x-5$$

   Если $$x-5<0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения. Если $$x-5\ge 0,$$ возводим в квадрат:

   $$x^2-7x+12>(x-5)^2$$
   $$3x>13$$
   $$x>\frac{13}{3}$$

   Область определения:

   $$x^2-7x+12\ge 0$$
   $$(x-3)(x-4)\ge 0$$
   $$x\le 3 \quad \text{или}\quad x\ge 4$$

   С учётом условия $$x<5$$ получаем:

   $$x\in (-\infty;3]\cup [4;+\infty)$$

5. д) $$\sqrt{9+5x-x^2}<x-8$$

   Правая часть должна быть положительной, значит $$x>8.$$ Возводим в квадрат:

   $$9+5x-x^2<(x-8)^2$$
   $$2x^2-21x+55>0$$
   $$(2x-11)(x-5)>0$$
   $$x<5 \quad \text{или}\quad x>\frac{11}{2}$$

   Но одновременно нужно $$x>8,$$ значит решений нет.

6. е) $$\sqrt{2x^3+x+3}\le x\sqrt6$$

   Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$x\ge 0.$$ Возводим в квадрат:

   $$2x^3+x+3\le 6x^2$$
   $$2x^3-6x^2+x+3\le 0$$
   $$(x-1)(2x^2-4x-3)\le 0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$2x^2-4x-3=0$$
   $$D=16+24=40$$
   $$x=\frac{4\pm \sqrt{40}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$

   С учётом условия $$x\ge 0$$ и знаков множителей получаем:

   $$x\in \left[1;1+\frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$

Ответ

а) $$\left[\frac{\sqrt{69}-5}{2};+\infty\right)$$;
б) $$\left[\frac{5-\sqrt{173}}{2};\frac{5+\sqrt{173}}{2}\right]$$;
в) $$[2;\sqrt[3]{10}]$$;
г) $$(-\infty;3]\cup [4;+\infty)$$;
д) решений нет;
е) $$\left[1;1+\frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$.