Упр.37.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) v(x+3)·v(4x+5)>6; г) v(2x+3)·v(x-2)<3; б) v((x+3)(4x+5))>6; д) v((2x+3)(x-2))<3; в) v(4x+5)/v(x+3)>6; е) v(2x+3)/v(x-2)<3.

1. а)

   $$\sqrt{x+3}\cdot\sqrt{4x+5}>6$$
   $$\sqrt{(x+3)(4x+5)}>6$$
   $$4x^2+17x+15>36$$
   $$4x^2+17x-21>0$$
   $$D=17^2-4\cdot 4\cdot(-21)=625$$
   $$x_{1,2}=\frac{-17\pm 25}{8}$$
   $$x_1=-\frac{21}{4},\quad x_2=1$$
   $$\left(x+\frac{21}{4}\right)(x-1)>0$$
   Отсюда
   $$x<-\frac{21}{4}\ \text{или}\ x>1.$$

   Область определения:
   $$x+3\ge 0,\quad 4x+5\ge 0$$
   $$x\ge -3,\quad x\ge -\frac54$$
   Значит, $$x\ge -\frac54.$$

   Пересечение с найденным решением:
   $$x>1.$$

2. б)

   $$\sqrt{(x+3)(4x+5)}>6$$
   $$4x^2+17x+15>36$$
   $$4x^2+17x-21>0$$
   $$\left(x+\frac{21}{4}\right)(x-1)>0$$
   $$x<-\frac{21}{4}\ \text{или}\ x>1.$$

   Область определения:
   $$ (x+3)(4x+5)\ge 0 $$
   $$x\le -3\ \text{или}\ x\ge -\frac54.$$

   Тогда
   $$x\in\left(-\infty,-\frac{21}{4}\right)\cup(1,+\infty).$$

3. в)

   $$\frac{\sqrt{4x+5}}{\sqrt{x+3}}>6$$
   $$\sqrt{4x+5}>6\sqrt{x+3}$$
   $$4x+5>36(x+3)$$
   $$32x<-103$$
   $$x<-\frac{103}{32}.$$

   Область определения:
   $$x+3>0,\quad 4x+5\ge 0$$
   $$x>-3,\quad x\ge -\frac54.$$

   Эти условия не совместимы с $$x<-\frac{103}{32}$$, поэтому решений нет.

4. г)

   $$\sqrt{2x+3}\cdot\sqrt{x-2}<3$$
   $$\sqrt{(2x+3)(x-2)}<3$$
   $$2x^2-x-6<9$$
   $$2x^2-x-15<0$$
   $$D=1+120=121$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{4}$$
   $$x_1=-\frac52,\quad x_2=3$$
   $$\left(x+\frac52\right)(x-3)<0$$
   $$-\frac52<x<3.$$

   Область определения:
   $$2x+3\ge 0,\quad x-2\ge 0$$
   $$x\ge -\frac32,\quad x\ge 2.$$
   Значит, $$x\ge 2.$$

   Пересечение:
   $$x\in[2,3).$$

5. д)

   $$\sqrt{(2x+3)(x-2)}<3$$
   $$2x^2-x-6<9$$
   $$2x^2-x-15<0$$
   $$\left(x+\frac52\right)(x-3)<0$$
   $$-\frac52<x<3.$$

   Область определения:
   $$(2x+3)(x-2)\ge 0$$
   $$x\le -\frac32\ \text{или}\ x\ge 2.$$

   Тогда
   $$x\in\left(-\frac52,-\frac32\right]\cup[2,3).$$

6. е)

   $$\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-2}}<3$$
   $$\sqrt{2x+3}<3\sqrt{x-2}$$
   $$2x+3<9(x-2)$$
   $$7x>21$$
   $$x>3.$$

   Область определения:
   $$2x+3\ge 0,\quad x-2>0$$
   $$x\ge -\frac32,\quad x>2.$$

   Следовательно,
   $$x\in(3,+\infty).$$

Ответ

а) $$\left(1,+\infty\right)$$; б) $$\left(-\infty,-\frac{21}{4}\right)\cup(1,+\infty)$$; в) решений нет; г) $$[2,3)$$; д) $$\left(-\frac52,-\frac32\right]\cup[2,3)$$; е) $$\left(3,+\infty\right)$$.