Упр.37.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) v(x+3)>v(2x-5); г) v(2x-5)
а) $$\sqrt{x+3}>\sqrt{2x-5}$$
Так как функция $$\sqrt{x}$$ возрастает, получаем:
$$x+3>2x-5,$$
$$x<8.$$
Область определения:
$$x+3\ge 0,\quad 2x-5\ge 0,$$
$$x\ge -3,\quad x\ge \frac52.$$
Следовательно, $$x\ge \frac52$$ и $$x<8$$.
$$x\in\left[\frac52;8\right).$$
б) $$\sqrt{x+3}>\sqrt{5-2x}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$x+3>5-2x,$$
$$3x>2,\quad x>\frac23.$$
Область определения:
$$x+3\ge 0,\quad 5-2x\ge 0,$$
$$x\ge -3,\quad x\le \frac52.$$
Пересечение условий:
$$x\in\left(\frac23;\frac52\right].$$
в) $$\sqrt{x+12}>x$$
Если $$x<0$$, то неравенство выполняется автоматически при $$x+12\ge 0$$. Тогда
$$-12\le x<0.$$
Если $$x\ge 0$$, можно возвести в квадрат:
$$x+12>x^2,$$
$$x^2-x-12<0,$$
$$ (x+3)(x-4)<0,$$
$$-3<x<4.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x<4$$.
Объединяя с первым случаем, имеем:
$$x\in[-12;4).$$
г) $$\sqrt{2x-5}<\sqrt{5x+3}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$2x-5<5x+3,$$
$$-8<3x,\quad x>-\frac83.$$
Область определения:
$$2x-5\ge 0,\quad x\ge \frac52.$$
Тогда
$$x\in\left[\frac52;+\infty\right).$$
д) $$\sqrt{5-2x}<\sqrt{5x+3}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$5-2x<5x+3,$$
$$2<7x,\quad x>\frac27.$$
Область определения:
$$5-2x\ge 0,\quad x\le \frac52.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac27;\frac52\right].$$
е) $$\sqrt{5x+6}<x$$
Если $$x\le 0$$, то неравенство невозможно, так как левая часть неотрицательна. Значит, рассматриваем $$x>0$$ и возводим в квадрат:
$$5x+6<x^2,$$
$$x^2-5x-6>0,$$
$$ (x+1)(x-6)>0.$$
Отсюда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>6.$$
С учётом условия $$x>0$$ получаем
$$x>6.$$
Ответ
а) $$\left[\frac52;8\right)$$; б) $$\left(\frac23;\frac52\right]$$; в) $$[-12;4)$$; г) $$\left[\frac52;+\infty\right)$$; д) $$\left(\frac27;\frac52\right]$$; е) $$\left(6;+\infty\right).$$
