Упр.37.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {(x-2)^3?27, 5x-4?9+x};
б) [(x-2)^3?27, 5x-4?9+x];
в) {(x-1)(x^2+x+1)?26, x^2-121>0};
г) [(x-1)(x^2+x+1)?26, x^2-121>0].

Подробный ответ

а)

$$ \begin{cases} (x-2)^3 \ge 27,\\ 5x-4 \le 9+x. \end{cases} $$
Из первого неравенства:
$$ x-2 \ge 3,\quad x \ge 5. $$
Из второго:
$$ 5x-4 \le 9+x,\quad 4x \le 13,\quad x \le \frac{13}{4}. $$
Получаем пересечение:
$$ x \ge 5 \quad \text{и} \quad x \le \frac{13}{4}, $$
то есть решений нет.

б)

$$ \begin{cases} (x-2)^3 \ge 27,\\ 5x-4 \le 9+x. \end{cases} $$
Для системы берём пересечение решений:
$$ x \ge 5,\qquad x \le \frac{13}{4}. $$
Пересечения нет, значит система не имеет решений.

в)

$$ \begin{cases} (x-1)(x^2+x+1) \le 26,\\ x^2-121>0. \end{cases} $$
Так как
$$ (x-1)(x^2+x+1)=x^3-1, $$
то первое неравенство равносильно
$$ x^3-1 \le 26,\quad x^3 \le 27,\quad x \le 3. $$
Второе неравенство:
$$ x^2-121>0,\quad (x-11)(x+11)>0, $$
откуда
$$ x<-11 \quad \text{или} \quad x>11. $$
Пересечение с условием $x \le 3$ даёт
$$ x<-11. $$

г)

$$ \begin{cases} (x-1)(x^2+x+1) \le 26,\\ x^2-121>0. \end{cases} $$
Как и выше,
$$ x \le 3, $$
а из второго неравенства:
$$ x<-11 \quad \text{или} \quad x>11. $$
Для совокупности берём объединение решений:
$$ x \le 3 \quad \text{или} \quad x<-11 \quad \text{или} \quad x>11. $$
Так как $x<-11$ уже входит в $x \le 3$, получаем $$ (-\infty;3]\cup(11;+\infty). $$