Упр.37.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему или совокупность неравенств:
а) $$\left\{\begin{array}{l}(x-2)^3\mathrel{?}27,\\5x-4\mathrel{?}9+x;\end{array}\right.$$
б) $$\left[\begin{array}{l}(x-2)^3\mathrel{?}27,\\5x-4\mathrel{?}9+x;\end{array}\right.$$
в) $$\left\{\begin{array}{l}(x-1)(x^2+x+1)\mathrel{?}26,\\x^2-121>0;\end{array}\right.$$
г) $$\left[\begin{array}{l}(x-1)(x^2+x+1)\mathrel{?}26,\\x^2-121>0.\end{array}\right.$$

Подробный ответ

а)

$$\begin{cases} (x-2)^3 \ge 27,\\ 5x-4 \le 9+x. \end{cases}$$
Из первого неравенства:
$$x-2 \ge 3,\quad x \ge 5.$$
Из второго:
$$5x-4 \le 9+x,\quad 4x \le 13,\quad x \le \frac{13}{4}.$$
Получаем пересечение:
$$x \ge 5 \quad \text{и} \quad x \le \frac{13}{4},$$
то есть решений нет.

б)

$$\begin{cases} (x-2)^3 \ge 27,\\ 5x-4 \le 9+x. \end{cases}$$
Для системы берём пересечение решений:
$$x \ge 5,\qquad x \le \frac{13}{4}.$$
Пересечения нет, значит система не имеет решений.

в)

$$\begin{cases} (x-1)(x^2+x+1) \le 26,\\ x^2-121>0. \end{cases}$$
Так как
$$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1,$$
то первое неравенство равносильно
$$x^3-1 \le 26,\quad x^3 \le 27,\quad x \le 3.$$
Второе неравенство:
$$x^2-121>0,\quad (x-11)(x+11)>0,$$
откуда
$$x<-11 \quad \text{или} \quad x>11.$$
Пересечение с условием $$x \le 3$$ даёт
$$x<-11.$$

г)

$$\begin{cases} (x-1)(x^2+x+1) \le 26,\\ x^2-121>0. \end{cases}$$
Как и выше,
$$x \le 3,$$
а из второго неравенства:
$$x<-11 \quad \text{или} \quad x>11.$$
Для совокупности берём объединение решений:
$$x \le 3 \quad \text{или} \quad x<-11 \quad \text{или} \quad x>11.$$
Так как $$x<-11$$ уже входит в $$x \le 3$$, получаем $$(-\infty;3]\cup(11;+\infty).$$