Упр.37.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Установите, равносильны ли данные неравенства:
   а) $$\frac{1}{\sqrt{x-1}}>1$$ и $$x-1>1$$;
   г) $$\frac{1}{\sqrt{x-1}}<1$$ и $$x>2$$;
   б) $$\sqrt{3^x-2}>1$$ и $$x>1$$;
   д) $$\sqrt{3^x-2}<1$$ и $$x<1$$; в) $$\log_{0,1}(x)>1$$ и $$x<0,1$$; е) $$\frac{1}{\lg(x)}>1$$ и $$x<10$$.

1. а) $$\frac{1}{\sqrt{x-1}}>1$$ и $$x-1>1$$.

   Так как $$\sqrt{x-1}>0$$, то

   $$1>\sqrt{x-1}$$

   $$x-1<1$$

   Получаем $$x<2$$, а второе неравенство даёт $$x>2$$. Решения не совпадают.

   Ответ: нет.

2. б) $$\sqrt{3^x-2}>1$$ и $$x>1$$.

   Первое неравенство равносильно:

   $$3^x-2>1$$

   $$3^x>3$$

   $$x>1$$

   Оба неравенства равносильны.

   Ответ: да.

3. в) $$\log_{0,1}x>1$$ и $$x<0,1$$.

   Так как основание $$0,1<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

   $$0<x<0,1$$

   Это не совпадает с условием $$x<0,1$$.

   Ответ: нет.

4. г) $$\frac{1}{\sqrt{x-1}}<1$$ и $$x>2$$.

   Так как $$\sqrt{x-1}>0$$, то

   $$1<\sqrt{x-1}$$

   $$x-1>1$$

   $$x>2$$

   Неравенства равносильны.

   Ответ: да.

5. д) $$\sqrt{3^x-2}<1$$ и $$x<1$$.

   Первое неравенство равносильно системе:

   $$0\le 3^x-2<1$$

   $$2\le 3^x<3$$

   $$\log_3 2\le x<1$$

   Это не совпадает с условием $$x<1$$.

   Ответ: нет.

6. е) $$\frac{1}{\lg x}>1$$ и $$x<10$$.

   Решим первое неравенство:

   $$\frac{1-\lg x}{\lg x}>0$$

   Отсюда

   $$0<\lg x<1$$

   $$1<x<10$$

   Это не совпадает с условием $$x<10$$.

   Ответ: нет.

Ответ

а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) нет.