Упр.37.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {x/(x+2)-24/(x+2)^2<0, -5x<15}; б) [x/(x+2)-24/(x+2)^2<0, -5x<15]; в) {(x^2-1,5x-7)/(x-3)^2?0, x^2<25}; г) [(x^2-1,5x-7)/(x-3)^2?0, x^2<25].

Подробный ответ

а)
Решим первое неравенство:
$$\frac{x}{x+2}-\frac{24}{(x+2)^2}<0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x+2)-24}{(x+2)^2}<0$$
$$\frac{x^2+2x-24}{(x+2)^2}<0$$
$$\frac{(x+6)(x-4)}{(x+2)^2}<0$$
Так как $$ (x+2)^2>0 $$ при $$x\ne -2$$, то нужно, чтобы числитель был отрицателен:
$$ (x+6)(x-4)<0 $$
Отсюда:
$$ -6<x<4,\quad x\ne -2 $$
Второе неравенство:
$$-5x<15$$
$$x>-3$$
Пересекаем решения:
$$(-6;4)\cap(-3;+\infty)=(-3;-2)\cup(-2;4)$$
б)
Здесь дана совокупность неравенств, значит берём объединение решений.
Первое неравенство даёт:
$$(-6;4)$$
Второе неравенство:
$$x>-3$$
Тогда
$$(-6;4)\cup(-3;+\infty)=(-6;+\infty)$$
Но точка $$x=-2$$ не входит в область определения первого неравенства, поэтому её исключаем:
$$(-6;-2)\cup(-2;+\infty)$$
в)
Решим первое неравенство:
$$\frac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}\ge 0$$
Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3$$, достаточно решить:
$$x^2-1{,}5x-7\ge 0$$
Умножим на 2:
$$2x^2-3x-14\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-14)=9+112=121$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 11}{4}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac72$$
Тогда
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac72,\quad x\ne 3$$
Второе неравенство:
$$x^2<25$$
$$-5<x<5$$
Пересекаем решения:
$$\left((-\infty;-2]\cup\left[\frac72;+\infty\right)\right)\cap(-5;5)=(-5;-2]\cup\left[\frac72;5\right)$$
г)
Это совокупность неравенств, значит объединяем решения.
Первое неравенство даёт:
$$(-\infty;-2]\cup\left[\frac72;+\infty\right),\quad x\ne 3$$
Второе неравенство:
$$-5<x<5$$
Объединение:
$$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$