Упр.37.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {x^3<4x, 3x^2-x>5-15x};
б) [x^3<4x, 3x^2-x>5-15x];
в) {(x+5)/(x-7)<1, (3x+4)/(4x-2)>-1};
г) [(x+5)/(x-7)<1, (3x+4)/(4x-2)>-1].

Подробный ответ

а)
Решим каждое неравенство отдельно:
$$x^3<4x$$
$$x^3-4x<0$$
$$x(x^2-4)<0$$
$$x(x+2)(x-2)<0$$
$$x<-2,\quad 0<x<2.$$
$$3x^2-x>5-15x$$
$$3x^2+14x-5>0$$
$$D=14^2+4\cdot 3\cdot 5=256$$
$$x_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{6}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=\frac13$$
$$\left(x+5\right)\left(x-\frac13\right)>0$$
$$x<-5,\quad x>\frac13.$$
Для системы берём пересечение решений:
$$\left((-\infty;-2)\cup(0;2)\right)\cap\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right)\right)$$
$$(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;2\right).$$
б)
Для совокупности берём объединение решений:
$$\left((-\infty;-2)\cup(0;2)\right)\cup\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right)\right)$$
$$(-\infty;-2)\cup(0;+\infty).$$
в)
$$\frac{x+5}{x-7}<1,\qquad \frac{3x+4}{4x-2}>-1.$$
Первое неравенство:
$$\frac{x+5}{x-7}-1<0$$
$$\frac{x+5-x+7}{x-7}<0$$
$$\frac{12}{x-7}<0$$
$$x<7.$$
Второе неравенство:
$$\frac{3x+4}{4x-2}+1>0$$
$$\frac{3x+4+4x-2}{4x-2}>0$$
$$\frac{7x+2}{4x-2}>0.$$
Критические точки: $$x=-\frac27$$ и $$x=\frac12$$. Тогда
$$x<-\frac27,\quad x>\frac12.$$
Пересечение решений:
$$\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;7\right).$$
г)
Для совокупности берём объединение решений:
$$\left(x<7\right)\cup\left(x<-\frac27\ \text{или}\ x>\frac12\right)$$
$$(-\infty;+\infty).$$