Упр.37.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а)

   Решим каждое неравенство отдельно:

   $$x^3<4x$$
   $$x^3-4x<0$$
   $$x(x^2-4)<0$$
   $$x(x+2)(x-2)<0$$
   $$x<-2,\quad 0<x<2.$$

   $$3x^2-x>5-15x$$
   $$3x^2+14x-5>0$$
   $$D=14^2+4\cdot 3\cdot 5=256$$
   $$x_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{6}$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=\frac13$$
   $$\left(x+5\right)\left(x-\frac13\right)>0$$
   $$x<-5,\quad x>\frac13.$$

   Для системы берём пересечение решений:

   $$\left((-\infty;-2)\cup(0;2)\right)\cap\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right)\right)$$
   $$(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;2\right).$$

2. б)

   Для совокупности берём объединение решений:

   $$\left((-\infty;-2)\cup(0;2)\right)\cup\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right)\right)$$
   $$(-\infty;-2)\cup(0;+\infty).$$

3. в)

   $$\frac{x+5}{x-7}<1,\qquad \frac{3x+4}{4x-2}>-1.$$

   Первое неравенство:

   $$\frac{x+5}{x-7}-1<0$$
   $$\frac{x+5-x+7}{x-7}<0$$
   $$\frac{12}{x-7}<0$$
   $$x<7.$$

   Второе неравенство:

   $$\frac{3x+4}{4x-2}+1>0$$
   $$\frac{3x+4+4x-2}{4x-2}>0$$
   $$\frac{7x+2}{4x-2}>0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac27$$ и $$x=\frac12$$. Тогда

   $$x<-\frac27,\quad x>\frac12.$$

   Пересечение решений:

   $$\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;7\right).$$

4. г)

   Для совокупности берём объединение решений:

   $$\left(x<7\right)\cup\left(x<-\frac27\ \text{или}\ x>\frac12\right)$$
   $$(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;2\right)$$

б) $$(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)$$

в) $$\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;7\right)$$

г) $$(-\infty;+\infty)$$