Упр.37.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x^2+2?2cos(x); в) x^2+2?2cos(x);
б) 3sin(x)?-(x+?/2)^2-3; г) 3sin(x)?-(x+?/2)^2-3.

Подробный ответ

а) $$x^2+2\ge 2\cos x$$
Рассмотрим функции $$y_1=x^2+2$$ и $$y_2=2\cos x$$.
Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2+2\ge 2$$. Кроме того, $$\cos x\le 1$$, значит $$2\cos x\le 2$$.
Следовательно, для любого $$x$$ выполняется
$$x^2+2\ge 2\ge 2\cos x,$$
то есть неравенство верно при всех действительных $$x$$.
б) $$3\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$
Рассмотрим функции $$y_1=3\sin x$$ и $$y_2=-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$.
Так как $$\sin x\le 1$$, то $$3\sin x\le 3$$, а также
$$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3\le -3.$$
Но правая часть неравенства не превосходит $$-3$$, а левая часть не меньше $$-3$$ только при $$\sin x=-1$$. Проверим точку $$x=-\frac{\pi}{2}$$:
$$3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=3\cdot(-1)=-3,$$
$$-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)^2-3=-3.$$
Значит, неравенство выполняется только при
$$x=-\frac{\pi}{2}.$$
в) $$x^2+2\le 2\cos x$$
Имеем $$x^2+2\ge 2$$, а $$2\cos x\le 2$$.
Чтобы выполнялось неравенство $$x^2+2\le 2\cos x$$, нужно одновременно
$$x^2+2=2 \quad \text{и} \quad 2\cos x=2.$$
Из $$x^2+2=2$$ получаем $$x=0$$. Проверка:
$$2\cos 0=2,$$
значит $$x=0$$ — решение.
г) $$3\sin x\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$
Так как $$\sin x\ge -1$$, то $$3\sin x\ge -3$$.
А поскольку $$\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2\ge 0$$, то
$$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3\le -3.$$
Следовательно, для любого $$x$$ выполняется
$$3\sin x\ge -3\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3,$$
то есть неравенство верно при всех действительных $$x$$.