Упр.37.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) |x|x-1; д) |x+2|?x+2;
в) |x|?3-2x; е) |x|>3x-2.

1. а) $$|x|<x+1$$

   График функции $$y=|x|$$ лежит ниже прямой $$y=x+1$$ при $$x>-\frac12$$.

   Ответ: $$\left(-\frac12;\,+\infty\right)$$

2. б) $$|x-1|>x-1$$

   Если $$x<1$$, то $$x-1<0$$ и неравенство выполняется. При $$x\ge 1$$ имеем $$|x-1|=x-1$$, что не подходит.

   Ответ: $$(-\infty;\,1)$$

3. в) $$|x|≤3-2x$$

   Правая часть должна быть неотрицательной:

   $$3-2x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac32.$$

   Решим по случаям:

   $$x\ge 0:\quad x\le 3-2x \Rightarrow 3x\le 3 \Rightarrow x\le 1;$$
   
   $$x<0:\quad -x\le 3-2x \Rightarrow x\le 3,$$

   что при $$x<0$$ выполняется всегда. С учётом условия $$x\le \frac32$$ получаем $$x<1$$ и точку $$x=1$$.

   Ответ: $$(-\infty;\,1]$$

4. г) $$|x+1|\ge 1-x$$

   Если $$x\le -1$$, то $$|x+1|=-(x+1)=-x-1$$, и тогда

   $$-x-1\ge 1-x \Rightarrow -1\ge 1,$$

   что неверно. Значит, $$x>-1$$.

   Если $$x>-1$$, то $$|x+1|=x+1$$, и

   $$x+1\ge 1-x \Rightarrow 2x\ge 0 \Rightarrow x\ge 0.$$

   Ответ: $$[0;\,+\infty)$$

5. д) $$|x+2|\le x+2$$

   Неравенство верно тогда и только тогда, когда $$x+2\ge 0$$.

   $$x\ge -2.$$

   Ответ: $$[-2;\,+\infty)$$

6. е) $$|x|>3x-2$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$x\ge 0$$, тогда $$|x|=x$$:
   
   $$x>3x-2 \Rightarrow -2x>-2 \Rightarrow x<1.$$

   2) $$x<0$$, тогда $$|x|=-x$$:
   
   $$-x>3x-2 \Rightarrow -4x>-2 \Rightarrow x<\frac12,$$

   что при $$x<0$$ выполняется всегда.

   Итак, решение: $$x<1.$$

   Ответ: $$(-\infty;\,1)$$