Упр.37.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) $$|x|<x+1$$

График функции $$y=|x|$$ лежит ниже прямой $$y=x+1$$ при $$x>-\frac12$$.

Ответ: $$\left(-\frac12;\,+\infty\right)$$

б) $$|x-1|>x-1$$

Если $$x<1$$, то $$x-1<0$$ и неравенство выполняется. При $$x\ge 1$$ имеем $$|x-1|=x-1$$, что не подходит.

Ответ: $$(-\infty;\,1)$$

в) $$|x|≤3-2x$$

Правая часть должна быть неотрицательной:

$$3-2x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac32.$$

Решим по случаям:

$$x\ge 0:\quad x\le 3-2x \Rightarrow 3x\le 3 \Rightarrow x\le 1;$$

$$x<0:\quad -x\le 3-2x \Rightarrow x\le 3,$$

что при $$x<0$$ выполняется всегда. С учётом условия $$x\le \frac32$$ получаем $$x<1$$ и точку $$x=1$$.

Ответ: $$(-\infty;\,1]$$

г) $$|x+1|\ge 1-x$$

Если $$x\le -1$$, то $$|x+1|=-(x+1)=-x-1$$, и тогда

$$-x-1\ge 1-x \Rightarrow -1\ge 1,$$

что неверно. Значит, $$x>-1$$.

Если $$x>-1$$, то $$|x+1|=x+1$$, и

$$x+1\ge 1-x \Rightarrow 2x\ge 0 \Rightarrow x\ge 0.$$

Ответ: $$[0;\,+\infty)$$

д) $$|x+2|\le x+2$$

Неравенство верно тогда и только тогда, когда $$x+2\ge 0$$.

$$x\ge -2.$$

Ответ: $$[-2;\,+\infty)$$

е) $$|x|>3x-2$$

Рассмотрим случаи.

1) $$x\ge 0$$, тогда $$|x|=x$$:

$$x>3x-2 \Rightarrow -2x>-2 \Rightarrow x<1.$$

2) $$x<0$$, тогда $$|x|=-x$$:

$$-x>3x-2 \Rightarrow -4x>-2 \Rightarrow x<\frac12,$$

что при $$x<0$$ выполняется всегда.

Итак, решение: $$x<1.$$

Ответ: $$(-\infty;\,1)$$