Упр.37.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) log_4(x)<-(x-1)^3; г) log_4(x)?-(x-1)^3; б) log_2(x)?20-x; д) log_2(x)?20-x; в) x+3log_8(x)>6; е) x+3log_8(x)<6.
а) $$\log_4 x<-(x-1)^3$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_4 x$$ и $$g(x)=-(x-1)^3.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$g(x)$$ убывает на $$\left(-\infty;+\infty\right).$$
Они пересекаются в точке $$x=1,$$ так как
$$\log_4 1=0,\qquad -(1-1)^3=0.$$
Так как одна функция возрастает, а другая убывает, то неравенство выполняется при $$0<x<1.$$
б) $$\log_2 x\le 20-x$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_2 x$$ и $$g(x)=20-x.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$g(x)$$ убывает на $$\left(-\infty;+\infty\right).$$
Точка пересечения находится из равенства
$$\log_2 x=20-x.$$
Проверим $$x=16$$:
$$\log_2 16=4,\qquad 20-16=4.$$
Значит, они пересекаются при $$x=16.$$ Тогда неравенство выполняется при $$0<x\le 16.$$
в) $$x+3\log_8 x>6$$
Перепишем:
$$3\log_8 x>6-x.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=3\log_8 x$$ и $$g(x)=6-x.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$g(x)$$ убывает на $$\left(-\infty;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$3\log_8 x=6-x.$$
Проверим $$x=4$$:
$$3\log_8 4=3\cdot \frac{2}{3}=2,\qquad 6-4=2.$$
Значит, решение неравенства:
$$x>4.$$
г) $$\log_4 x\ge -(x-1)^3$$
Функции те же, что и в пункте а), но знак неравенства другой. В точке пересечения $$x=1$$ значения равны:
$$\log_4 1=0,\qquad -(1-1)^3=0.$$
Так как $$\log_4 x$$ возрастает, а $$-(x-1)^3$$ убывает, то при $$x\ge 1$$ выполняется неравенство.
д) $$\log_2 x\ge 20-x$$
Это пункт б) с обратным знаком неравенства. Точка пересечения та же: $$x=16.$$
Следовательно, решение:
$$x\ge 16.$$
е) $$x+3\log_8 x<6$$
Перепишем:
$$3\log_8 x<6-x.$$
Точка пересечения функций $$f(x)=3\log_8 x$$ и $$g(x)=6-x$$ та же: $$x=4.$$
Так как $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, то неравенство выполняется при $$0<x<4.$$
Ответ
а) $$\left(0;1\right)$$; б) $$\left(0;16\right]$$; в) $$\left(4;+\infty\right)$$; г) $$\left[1;+\infty\right)$$; д) $$\left[16;+\infty\right)$$; е) $$\left(0;4\right).$$
