Упр.37.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Установите, равносильны ли данные неравенства:
а) $$\cos(x)-3^{x^2+2x-3}\leq 11$$ и $$\cos(x)\leq 11+3^{x^2+2x-3}$$;
б) $$\frac{\cos(x)}{\sqrt{x^2+1}}\leq 1$$ и $$\cos(x)\leq \sqrt{x^2+1}$$;
в) $$\sqrt{x^2+4x+4}\cdot\log_3(x^2-4x-5)\leq 0$$ и $$\log_3(x^2-4x-5)\leq 0$$;
г) $$\sin(x)+\log_3(x^2+2x-3)\leq 5$$ и $$\sin(x)\leq 5-\log_3(x^2-2x-2)$$;
д) $$\frac{\sin(x)}{\sqrt{x^2+2}}\leq 1$$ и $$\sin(x)\leq \sqrt{x^2+2}$$;
е) $$10^{3x-5}\cdot\ln(x^2+4x+4)>0$$ и $$\ln(x^2+4x+4)>0$$.
а) $$\cos x-3^{x^2+2x-3}\ge 11$$ и $$\cos x\ge 11+3^{x^2+2x-3}.$$
Переносим одно и то же слагаемое $$3^{x^2+2x-3}$$ в правую часть. Получаем равносильные неравенства.
Да.
б) $$\frac{\cos x}{\sqrt{x^2+1}}\le 1$$ и $$\cos x\le \sqrt{x^2+1}.$$
Так как $$x^2+1\ge 1,$$ то $$\sqrt{x^2+1}>0.$$ Умножение неравенства на положительное число $$\sqrt{x^2+1}$$ сохраняет знак неравенства, значит, неравенства равносильны.
Да.
в) $$\sqrt{x^2+4x+4}\cdot \log_3(x^2-4x-5)\le 0$$ и $$\log_3(x^2-4x-5)\le 0.$$
Здесь $$\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{(x+2)^2}\ge 0,$$ но она обращается в нуль при $$x=-2.$$
При $$x=-2$$ имеем $$x^2-4x-5=4+8-5=7,$$ поэтому $$\log_3 7>0.$$ Тогда первое неравенство при $$x=-2$$ неверно, а второе выполняется не всегда в тех же условиях. Следовательно, неравенства неравносильны.
Нет.
г) $$\sin x+\log_3(x^2+2x-3)\le 5$$ и $$\sin x\le 5-\log_3(x^2+2x-3).$$
Это одно и то же неравенство, записанное в другом виде.
Да.
д) $$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2}}\le 1$$ и $$\sin x\le \sqrt{x^2+2}.$$
Так как $$x^2+2\ge 2,$$ то $$\sqrt{x^2+2}>0.$$ Умножение на положительное число $$\sqrt{x^2+2}$$ сохраняет знак неравенства, значит, неравенства равносильны.
Да.
е) $$10^{3x-5}\cdot \ln(x^2+4x+4)>0$$ и $$\ln(x^2+4x+4)>0.$$
Так как $$10^{3x-5}>0$$ при любых $$x,$$ то умножение на этот множитель не меняет знак неравенства. Следовательно, неравенства равносильны.
Да.
Ответ
а) да; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) да.
