Упр.36.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {v((x-y)/(3y))+v((5x)/(x+y))=3, 17v((x-y)/(3y))-8v((5x)/(x+y))=1};
б) {v((y-x)/(2x))-v(x/(x+y))=1/2, 16v(x/(x+y))-7v((y-x)/(2x))=1}.

1. а) Обозначим

   $$u=\sqrt{\frac{x-y}{3y}}, \qquad v=\sqrt{\frac{5x}{x+y}}.$$

   Тогда система принимает вид

   $$ \begin{cases} u+v=3,\\ 17u-8v=1. \end{cases} $$

   Умножим первое уравнение на $8$:

   $$8u+8v=24.$$

   Сложим его со вторым уравнением:

   $$25u=25,$$

   откуда

   $$u=1.$$

   Тогда из $u+v=3$ получаем

   $$v=2.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{\frac{x-y}{3y}}=1 \;\Rightarrow\; \frac{x-y}{3y}=1 \;\Rightarrow\; x-y=3y \;\Rightarrow\; x=4y.$$

   Подходящая пара решений имеет вид

   $$x=4t,\quad y=t.$$

2. б) Обозначим

   $$u=\sqrt{\frac{y-x}{2x}}, \qquad v=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.$$

   Тогда система записывается так:

   $$ \begin{cases} u-v=\frac12,\\ 16v-7u=1. \end{cases} $$

   Умножим первое уравнение на $16$:

   $$16u-16v=8.$$

   Сложим его со вторым уравнением:

   $$9u=9,$$

   откуда

   $$u=1.$$

   Тогда из $u-v=\frac12$ получаем

   $$v=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1 \;\Rightarrow\; \frac{y-x}{2x}=1 \;\Rightarrow\; y-x=2x \;\Rightarrow\; y=3x.$$

   Подходящая пара решений имеет вид

   $$x=t,\quad y=3t.$$

Ответ

а) $$x=4t,\ y=t.$$

б) $$x=t,\ y=3t.$$