Упр.36.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}v\left(\frac{x-y}{3y}\right)+v\left(\frac{5x}{x+y}\right)=3,\\17v\left(\frac{x-y}{3y}\right)-8v\left(\frac{5x}{x+y}\right)=1;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}v\left(\frac{y-x}{2x}\right)-v\left(\frac{x}{x+y}\right)=\frac{1}{2},\\16v\left(\frac{x}{x+y}\right)-7v\left(\frac{y-x}{2x}\right)=1.\end{cases}$$

1. а) Обозначим

   $$u=\sqrt{\frac{x-y}{3y}}, \qquad v=\sqrt{\frac{5x}{x+y}}.$$

   Тогда система принимает вид

   $$\begin{cases} u+v=3,\\ 17u-8v=1. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$8$$:

   $$8u+8v=24.$$

   Сложим его со вторым уравнением:

   $$25u=25,$$

   откуда

   $$u=1.$$

   Тогда из $$u+v=3$$ получаем

   $$v=2.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{\frac{x-y}{3y}}=1 \;\Rightarrow\; \frac{x-y}{3y}=1 \;\Rightarrow\; x-y=3y \;\Rightarrow\; x=4y.$$

   Подходящая пара решений имеет вид

   $$x=4t,\quad y=t.$$

2. б) Обозначим

   $$u=\sqrt{\frac{y-x}{2x}}, \qquad v=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.$$

   Тогда система записывается так:

   $$\begin{cases} u-v=\frac12,\\ 16v-7u=1. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$16$$:

   $$16u-16v=8.$$

   Сложим его со вторым уравнением:

   $$9u=9,$$

   откуда

   $$u=1.$$

   Тогда из $$u-v=\frac12$$ получаем

   $$v=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1 \;\Rightarrow\; \frac{y-x}{2x}=1 \;\Rightarrow\; y-x=2x \;\Rightarrow\; y=3x.$$

   Подходящая пара решений имеет вид

   $$x=t,\quad y=3t.$$

Ответ

а) $$x=4t,\ y=t.$$

б) $$x=t,\ y=3t.$$