Упр.36.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {log_16(x-y)=1/2, log_125(x)-log_125(y)=1/3};
б) {log_27(3x-y)=1/3, log_4(y)-log_4(y)=0,5};
в) {log_(1/64)(x-y)=-1/3, log_9(x)-log_9(y)=1/2};
г) {log_625(x+y)=0,25, log_8(y)-log_8(x)=2/3}.

1. а)

   $$\log_{16}(x-y)=\frac12 \Rightarrow x-y=16^{1/2}=4,$$
   $$x-y=4.$$

   $$\log_{125}x-\log_{125}y=\frac13 \Rightarrow \log_{125}\frac{x}{y}=\frac13,$$
   $$\frac{x}{y}=125^{1/3}=5,$$
   $$x=5y.$$

   Подставим в первое уравнение:
   $$5y-y=4,$$
   $$4y=4,\quad y=1,$$
   $$x=5.$$

   Ответ: $$(5;1).$$

2. б)

   $$\log_{27}(3x-y)=\frac13 \Rightarrow 3x-y=27^{1/3}=3,$$
   $$3x-y=3.$$

   $$\log_4 y-\log_4 x=0{,}5 \Rightarrow \log_4\frac{y}{x}=\frac12,$$
   $$\frac{y}{x}=4^{1/2}=2,$$
   $$y=2x.$$

   Подставим во первое уравнение:
   $$3x-2x=3,$$
   $$x=3,\quad y=6.$$

   Ответ: $$(3;6).$$

3. в)

   $$\log_{1/64}(x-y)=-\frac13 \Rightarrow x-y=\left(\frac1{64}\right)^{-1/3}=4,$$
   $$x-y=4.$$

   $$\log_9 x-\log_9 y=\frac12 \Rightarrow \log_9\frac{x}{y}=\frac12,$$
   $$\frac{x}{y}=9^{1/2}=3,$$
   $$x=3y.$$

   Подставим в первое уравнение:
   $$3y-y=4,$$
   $$2y=4,\quad y=2,\quad x=6.$$

   Ответ: $$(6;2).$$

4. г)

   $$\log_{625}(x+y)=0{,}25 \Rightarrow x+y=625^{1/4}=5,$$
   $$x+y=5.$$

   $$\log_8 y-\log_8 x=\frac23 \Rightarrow \log_8\frac{y}{x}=\frac23,$$
   $$\frac{y}{x}=8^{2/3}=4,$$
   $$y=4x.$$

   Подставим в первое уравнение:
   $$x+4x=5,$$
   $$5x=5,\quad x=1,\quad y=4.$$

   Ответ: $$(1;4).$$