Упр.36.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) {2^(2x-3y)·2^(4y-x)=16, log_3(x)+log_3(y)=1};
б) {(1/3)^(2x)·3^(y-1)=1/81, log_2(2x)-log_2(y)=2};
в) {3^(3x-1)·3^(y-2x)=27, log_3(x)+log_3(y)=1};
г) {4^x·(1/v2)^(2-2y)=log_(5^(1/4))(5), log_4(y)-log_4(x)=1}.
а)
$$2^{2x-3y}\cdot 2^{4y-x}=16$$
$$2^{x+y}=2^4$$
$$x+y=4$$$$\log_3 x+\log_3 y=1$$
$$\log_3(xy)=\log_3 3$$
$$xy=3$$Подставим $$y=4-x$$:
$$x(4-x)=3$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$ (x-1)(x-3)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=3$$Тогда
$$y=3 \text{ или } y=1$$Получаем решения:
$$(1;3),\ (3;1).$$б)
$$\left(\frac13\right)^{2x}\cdot 3^{y-1}=\frac1{81}$$
$$3^{-2x}\cdot 3^{y-1}=3^{-4}$$
$$3^{y-1-2x}=3^{-4}$$
$$y-1-2x=-4$$
$$y=2x-3$$$$\log_2(2x)-\log_2 y=2$$
$$\log_2\frac{2x}{y}=2$$
$$\frac{2x}{y}=4$$
$$2x=4y$$
$$x=2y$$Подставим $$y=2x-3$$:
$$x=2(2x-3)$$
$$x=4x-6$$
$$3x=6$$
$$x=2$$Тогда
$$y=2\cdot 2-3=1$$Ответ: $$(2;1).$$
в)
$$3^{3x-1}\cdot 3^{y-2x}=27$$
$$3^{x+y-1}=3^3$$
$$x+y=4$$$$\log_3 x+\log_3 y=1$$
$$\log_3(xy)=\log_3 3$$
$$xy=3$$Подставим $$y=4-x$$:
$$x(4-x)=3$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$(x-1)(x-3)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=3$$Тогда
$$y=3 \text{ или } y=1$$Получаем решения:
$$(1;3),\ (3;1).$$г)
$$4^x\cdot \left(\frac1{\sqrt2}\right)^{2-2y}=\log_{5^{1/4}} 5$$
$$2^{2x}\cdot 2^{-(2-2y)}=4$$
$$2^{2x-2+2y}=2^2$$
$$2x-2+2y=2$$
$$x+y=2$$$$\log_4 y-\log_4 x=1$$
$$\log_4\frac{y}{x}=1$$
$$\frac{y}{x}=4$$
$$y=4x$$Подставим в $$x+y=2$$:
$$x+4x=2$$
$$5x=2$$
$$x=\frac25$$Тогда
$$y=4\cdot \frac25=\frac85$$Ответ: $$\left(\frac25;\frac85\right).$$
