Упр.36.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases} \log_3(x^2+6x-4)-\log_3(y)=1,\\ 3x-y=2; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(5x-y)=\log_{\frac{1}{3}}(3x+4),\\ \log_9(x^2+x-2y)=\log_9(x^2+y); \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} \log_4(x^2+2x+4)-\log_4(y)=1,\\ 2x+y=7; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} \log_6(7x-y)=\log_6(4x+3),\\ \log_{\frac{1}{7}}(x^2+2x-y)=\log_{\frac{1}{7}}(x^2+3y). \end{cases}$$
а)
Из второго уравнения:
$$y=3x-2.$$
Подставим в первое:
$$\log_3(x^2+6x-4)-\log_3(3x-2)=1.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_3\frac{x^2+6x-4}{3x-2}=1,$$
значит
$$\frac{x^2+6x-4}{3x-2}=3.$$
Тогда
$$x^2+6x-4=9x-6,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$(x-1)(x-2)=0.$$
Отсюда
$$x=1 \text{ или } x=2.$$
Найдём $$y$$:
$$y=3x-2.$$
При $$x=1$$ получаем $$y=1$$, при $$x=2$$ получаем $$y=4$$.Ответ: $$(1;1),\ (2;4).$$
б)
Из первого уравнения:
$$\log_{1/3}(5x-y)=\log_{1/3}(3x+4),$$
значит
$$5x-y=3x+4,$$
$$y=2x-4.$$
Из второго уравнения:
$$\log_9(x^2+x-2y)=\log_9(x^2+y),$$
значит
$$x^2+x-2y=x^2+y,$$
$$x=3y.$$
Подставим $$y=2x-4$$:
$$x=3(2x-4),$$
$$x=6x-12,$$
$$5x=12,$$
$$x=\frac{12}{5}=2{,}4.$$
Тогда
$$y=2\cdot 2{,}4-4=0{,}8.$$Ответ: $$(2{,}4;\ 0{,}8).$$
в)
Из второго уравнения:
$$y=7-2x.$$
Подставим в первое:
$$\log_4(x^2+2x+4)-\log_4(7-2x)=1.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_4\frac{x^2+2x+4}{7-2x}=1,$$
значит
$$\frac{x^2+2x+4}{7-2x}=4.$$
Тогда
$$x^2+2x+4=28-8x,$$
$$x^2+10x-24=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-24)=196,$$
$$x=\frac{-10\pm 14}{2}.$$
Получаем
$$x_1=-12,\quad x_2=2.$$
Найдём $$y$$:
$$y=7-2x.$$
При $$x=-12$$ имеем $$y=31$$, при $$x=2$$ имеем $$y=3$$.Ответ: $$(-12;\ 31),\ (2;\ 3).$$
г)
Из первого уравнения:
$$\log_6(7x-y)=\log_6(4x+3),$$
значит
$$7x-y=4x+3,$$
$$y=3x-3.$$
Из второго уравнения:
$$\log_{1/7}(x^2+2x-y)=\log_{1/7}(x^2+3y),$$
значит
$$x^2+2x-y=x^2+3y,$$
$$2x=4y,$$
$$x=2y.$$
Подставим в $$y=3x-3$$:
$$y=3(2y)-3,$$
$$y=6y-3,$$
$$5y=3,$$
$$y=0{,}6.$$
Тогда
$$x=2y=1{,}2.$$Ответ: $$(1{,}2;\ 0{,}6).$$
