Упр.36.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) {log_3(x^2+6x-4)-log_3(y)=1, 3x-y=2};
б) {log_(1/3)(5x-y)=log_(1/3)(3x+4), log_9(x^2+x-2y)=log_9(x^2+y)};
в) {log_4(x^2+2x+4)-log_4(y)=1, 2x+y=7};
г) {log_6(7x-y)=log_6(4x+3), log_(1/7)(x^2+2x-y)=log_(1/7)(x^2+3y)}.
а)
Из второго уравнения:
$$y=3x-2.$$
Подставим в первое:
$$ \log_3(x^2+6x-4)-\log_3(3x-2)=1. $$
Объединим логарифмы:
$$ \log_3\frac{x^2+6x-4}{3x-2}=1, $$
значит
$$ \frac{x^2+6x-4}{3x-2}=3. $$
Тогда
$$ x^2+6x-4=9x-6, $$
$$ x^2-3x+2=0, $$
$$ (x-1)(x-2)=0. $$
Отсюда
$$ x=1 \text{ или } x=2. $$
Найдём $y$:
$$ y=3x-2. $$
При $x=1$ получаем $y=1$, при $x=2$ получаем $y=4$.Ответ: $$(1;1),\ (2;4).$$
б)
Из первого уравнения:
$$ \log_{1/3}(5x-y)=\log_{1/3}(3x+4), $$
значит
$$ 5x-y=3x+4, $$
$$ y=2x-4. $$
Из второго уравнения:
$$ \log_9(x^2+x-2y)=\log_9(x^2+y), $$
значит
$$ x^2+x-2y=x^2+y, $$
$$ x=3y. $$
Подставим $y=2x-4$:
$$ x=3(2x-4), $$
$$ x=6x-12, $$
$$ 5x=12, $$
$$ x=\frac{12}{5}=2{,}4. $$
Тогда
$$ y=2\cdot 2{,}4-4=0{,}8. $$Ответ: $$(2{,}4;\ 0{,}8).$$
в)
Из второго уравнения:
$$ y=7-2x. $$
Подставим в первое:
$$ \log_4(x^2+2x+4)-\log_4(7-2x)=1. $$
Объединим логарифмы:
$$ \log_4\frac{x^2+2x+4}{7-2x}=1, $$
значит
$$ \frac{x^2+2x+4}{7-2x}=4. $$
Тогда
$$ x^2+2x+4=28-8x, $$
$$ x^2+10x-24=0. $$
Решаем квадратное уравнение:
$$ D=10^2-4\cdot 1\cdot(-24)=196, $$
$$ x=\frac{-10\pm 14}{2}. $$
Получаем
$$ x_1=-12,\quad x_2=2. $$
Найдём $y$:
$$ y=7-2x. $$
При $x=-12$ имеем $y=31$, при $x=2$ имеем $y=3$.Ответ: $$(-12;\ 31),\ (2;\ 3).$$
г)
Из первого уравнения:
$$ \log_6(7x-y)=\log_6(4x+3), $$
значит
$$ 7x-y=4x+3, $$
$$ y=3x-3. $$
Из второго уравнения:
$$ \log_{1/7}(x^2+2x-y)=\log_{1/7}(x^2+3y), $$
значит
$$ x^2+2x-y=x^2+3y, $$
$$ 2x=4y, $$
$$ x=2y. $$
Подставим в $y=3x-3$:
$$ y=3(2y)-3, $$
$$ y=6y-3, $$
$$ 5y=3, $$
$$ y=0{,}6. $$
Тогда
$$ x=2y=1{,}2. $$Ответ: $$(1{,}2;\ 0{,}6).$$
